在具有简单极点的复杂域中求解高维 (3-10) 抛物线偏微分方程的现有技术是什么（形式为 ) 和吸收边界条件？
具体来说，我对求解多电子薛定谔方程感兴趣：
对于具有超过 1 个电子的双原子分子。
求解高维抛物线偏微分方程（多电子薛定谔方程）的最新技术是什么
计算科学
抛物线pde
量子力学
高维
2021-12-03 04:05:57
3个回答
方程的解在 如果电子数量足够小，您可以使用任何传统方法。像域离散化方法（有限差分、有限元、边界元）或伪光谱方法。因为求解这个方程并不比求解多维波动方程更难。
对于更大的系统，需要一些技巧来获得解决方案。我们将电子-电子相互作用替换为电子与电子云的相互作用（其余电子的平均场近似），然后以自洽方式求解（由于来自平均场的非线性学期）。这是在Hartree-Fock和密度泛函理论(DFT) 中完成的。将原始微分方程转换为变分公式。
DFT是当今最常用的方法，其优点是所有方程都是根据电子密度而不是波动方程来制定的。因此，方程位于 3 维空间中。描述这两种方法的一本书是
- Thijssen, Jos. 计算物理学。剑桥大学出版社，2007 年。亚马逊链接。
您想求解 3 到 10 个粒子系统（每个粒子 3D）？据我所知，平均场理论对于这么少的粒子来说并不是特别有效，但似乎已经对双原子分子进行了 DFT 工作。
这是一个玻恩-奥本海默有效的系统吗？如果是这样，我可能倾向于使用 Slater 行列式的线性组合来扩展电子波函数，可能使用稀疏网格或光谱稀疏网格这篇论文可能会有所帮助。
另一种选择是尝试使用紧束缚方法，尽管您提到吸收边界条件这一事实表明您可能正在考虑涉及电离/解离的问题。如果您尝试近似低级别状态，TB 将非常有用。
可能像多配置时间相关的 Hartree-Fock 方法这样的东西可以在这里MCTDHF工作。
最后，你可以看看量子蒙特卡罗方法。这些是获得单个原子的交换和相关函数模型以进行 DFT 计算的方法。看起来有多原子扩展。（我没有链接权限）。
如果你有个原子，你的波函数取决于个变量。如果您想在每个方向上个一维形状函数）的均匀网格上将此函数离散化，则总共需要个未知数——对于任何人来说都太多了有趣的电子数。仅举一个例子，如果你只在每个方向上使用节点，并且你只有 3 个电子，那么你已经拥有一个大小为的系统，这已经达到了一个人所能做的极限今天。
从这个考虑可以得出，不可能同时考虑所有电子的问题——你需要一次限制自己只有一个或两个电子。这自然会导致您使用诸如 Hartree Fock 方法之类的方法，该方法迭代电子，同时保持系统的其余部分固定。
我不太了解这个领域，但想象一下，有许多关于这个主题的高引用和写得很好的评论论文。