时间相关偏微分方程的全时空离散化确实是一回事。If you use a structured mesh in time (in the sense that the time discretization does not depend on space) and appropriate choice of trial and test functions, you can fit several standard time-stepping methods (Crank-Nicolson, implicit Euler or some Runge -Kutta 方案）到 Galerkin 框架中，它提供了一种优雅的分析方法。例如，在 Thomée 的著作Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems（Springer，第 2 版，2006）或 Chrysafinos 和 Walkton 的论文Errorestimates for the discontinuous Galerkin methods for parabolic equations（SIAM J. Numer. Anal . 44.1, 349–366, 2006)。

使用完全非结构化的网格不太常见，但对于沿着特征传输信息的双曲线问题很有意义。如果您使用不连续的 Galerkin 公式，每个时空元素仅通过面项与相邻元素耦合（您没有全局连续性要求），并且您可以使用扫描过程通过沿特征从元素到元素来计算解——一种“倾斜”的时间步进。当然，这实现起来要困难得多，即使它不需要存储完整的时空网格（这可能会令人望而却步）。另一方面，您可以获得非结构化网格的优势，即允许局部（自适应）细化，从而实现局部自适应时间步长。弹性动力学的时空有限元方法：公式和误差估计，应用力学与工程中的计算机方法 66(3):339-363, 1988。Shripat Thite 还有一篇关于不连续 Galerkin 方法的时空网格划分的博士论文。

我看到这个想法的另一个背景是针对抛物线问题的 PDE 约束优化。在那里，您可以将一阶必要最优性条件表述为前向后方程的耦合系统，您可以将其解释为时间二阶、空间四阶椭圆方程与初始-最终（和边界条件。通过对此耦合系统进行自适应时空离散化，您可以使用一种有效的一次性方法来计算解决方案，请参阅Gong、Hinze、Zhou：抛物线最优控制问题的时空有限元近似，J Numer。数学。20（2）：111-145（2012）。

最近有更多关于时空方法的论文。有一个来自Steinbach，时空有限元，另一个来自Langer 等。al，时空等几何分析都解决了抛物线演化问题。在这两篇文章中，他们生动地描述了变分公式，但在不同的环境中。正如标题所示，前者使用 FEM，后者使用 IgA。我认为这提供了很好的信息，特别是关于你所寻求的信息。

在专着《数值数学》第二版的最后一章中，Quatteroni 等。al , 有一个关于时空的部分可能也有帮助，尤其是与$\theta-$计划。

张量积时空实现与基于非张量的实现非常不同。后者有点棘手，尤其是对于 FEM。