因果关系表明信息只在时间上向前流动，并且应该设计算法来利用这一事实。时间步进方案可以做到这一点，而全局时间谱方法或其他想法则没有。问题当然是为什么每个人都坚持利用这个事实——但这很容易理解：如果你的空间问题已经有一百万个未知数并且你需要做 1000 个时间步，那么在今天的典型机器上你就有足够的资源来解决空间问题一个接一个地解决，但是您没有足够的资源来处理未知数的耦合问题。$10^9$

这种情况与运输现象的空间离散化情况也没有太大区别。当然，您可以使用全局耦合方法离散化纯一维平流方程。但是，如果您关心效率，那么迄今为止最好的方法是使用下游扫描，将信息从域的流入部分传送到流出部分。这正是时间步进方案在时间上所做的。

类似于 Wolfgang 在他的帖子中提到的因果关系，我们可以从 Minkowski 时空的角度看到时间维度特殊的原因：$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

(维时空的内积定义为 如果和是两个 1-在 Minkowski 时空中的形式： ，以类似的方式定义，定义内积（或者更确切地说，度量）背后的直觉是强加绝对光速的概念，使得时空中的两个不同点（事件）的距离为零（同时发生），就像我们正在观察数十亿光年外的星系的运动，就好像它们在移动一样现在）如果它们在同一个光锥上。$(3+1)$

$$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$$ $A$$B$$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$$B$

正如你所看到的，这个内积不是正定的，因为存在以光速缩放的时间维度，因此直观地说，在处理关于在时空中传播的量的问题时，我们不能简单地应用 3 中的定理维欧几里得度量到维时空，想想 3 维椭圆 PDE 理论，它们相应的数值方法与双曲 PDE 理论有很大不同。 $c$$(3+1)$

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也许题外话了，但空间与时空（椭圆与双曲线）的另一个主要区别是，大多数椭圆方程对平衡进行建模，而椭圆为我们提供了“很好”的规律性，而双曲线问题中存在各种不连续性（冲击、稀疏、等等）。

编辑：除了给你定义之外，我不知道有一篇关于差异的专门文章，根据我之前学到的知识，典型的椭圆方程，如泊松方程或弹性，模拟静态现象，如果数据和感兴趣域的边界是“平滑的”，这是由于控制微分算子的椭圆性（或者更确切地说是正定性质），这种类型的方程将我们引向一个非常直观的 Galerkin 类型方法（乘以一个测试函数和积分按部分），典型的连续有限元效果很好。类似的事情也适用于抛物线方程，比如热方程，它本质上是一个随时间变化的椭圆方程，具有类似的“平滑”特性，初始的尖角会随着时间的推移而变得平滑，

对于通常源自守恒定律的双曲问题，它是“保守的”或“分散的”。例如，线性平流方程，用向量场描述某个量的流动，保存了这个特定量最初的样子，只是它沿着这个向量场在空间上移动，不连续性就会传播。薛定谔方程，另一个双曲方程，然而，是色散的，它是一个复数的传播，一个非振荡的初始状态会随着时间的推移变成不同的振荡波包。

正如您提到的“时间步长”，您可以将具有一定速度的时间“场”中的“流动”量视为因果关系，非常类似于线性平流方程 BVP，我们只需施加流入边界条件，即，流入感兴趣的域时数量是什么样的，解决方案会告诉我们流出时数量是什么样的，这个想法与使用时间步长的每种方法都非常相似。求解空间中的 2D 平流方程就像求解时空中的 1D 单边传播问题。对于数值方案，您可以在 Google 上搜索时空 FEM。

虽然有一些例外（例如完全离散的有限元方法），但时间离散化通常意味着信息流中固有的顺序依赖性。这种依赖性限制了半离散算法（空间中的 BVP，时间中的 IVP）以顺序方式计算子问题的解决方案。这种离散化通常因其简单性而受到青睐，并且因为它为分析人员提供了许多成熟的算法，从而在空间和时间上都具有更高的准确性。

在空间维度上使用有限差分也是可能的（并且更简单），但与有限差分方法相比，有限元方法在感兴趣的域类型（例如非常规形状）方面提供了更容易的灵活性。空间离散化的“好”选择通常非常依赖于问题。