计算科学 - 投影出零空间一个A从bb在A x = bAx=b - 吾爱随笔录

给定系统

A x = b,

$Ax=b,$ 在哪里

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，我读到，如果使用 Jacobi 迭代作为求解器，则该方法不会收敛，如果

b

$b$ 在的零空间中有一个非零分量

A

$A$ . 那么，一个人怎么能正式说明这一点，前提是

b

$b$ 有一个跨越零空间的非零分量

A

$A$ , Jacobi 方法是不收敛的？我想知道如何在数学上将其形式化，因为与零空间正交的解的一部分确实会收敛。

因此，通过投影零空间 $A$ 在每次迭代中，它都会收敛（或？）。

…………

我对以下情况特别感兴趣

L x = b,

$Lx=b,$ 在哪里

L

$L$ 是一个对称拉普拉斯矩阵，其零空间由一个向量跨越

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$ ，和

b

$b$ 在的零空间中具有零分量

L

$L$ ,

J b = b,

$Jb=b,$ 在哪里

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$ 是中心矩阵。这是否意味着每个 Jacobi 迭代都将具有

L

$L$ 投影出来，即每次迭代都将居中？我问这个，从那时起就没有必要把零空间投射出来了

L

$L$ 从 Jacobi 迭代（或者，换句话说，使迭代居中）。