如果您想提高有限差分方案的准确性，您可以随时尝试增加模板的程度。但是，在等距点上，这可能会导致数值不稳定。为了避免这些问题并仍然获得高精度，我建议使用Spectral Methods。

如果您的问题有固定的极点，您可以尝试通过拆分域并解决两个耦合问题来绕过它们。

Chebfun系统（免责声明：我是其中的开发人员之一）使用上述技术，您可以在chebgui界面中快速解决您的问题。我会自己尝试，但我不知道您的域或$f(x)$是。

我附上了chebgui计算前六个特征值和特征模态的窗口截图$-u''(x) - u(x)x = \lambda u$在上。$[-1,1]$

更新

如果你想在不深入 Chebfun 的情况下解决这个问题，所有细节都应该在 Nick Trefethen 的《Matlab 中的光谱方法》一书的第 9 章中。

一种快速使事情变得更好（尽管可能不会更好）的方法是考虑您使用的最低阶有限差分方法与最低阶有限元方法之间的相似性。如果您计算使用 1d 中的线性有限元形状函数得到的三对角矩阵，那么二阶导数的离散化看起来完全一样（高达因子但你会得到一个不同的术语脱落。我不知道在你的情况下看起来如何，但现在你在哪里使用，它会变成其中$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$处达到峰值的帽子函数。如果足够简单，那么您可以精确地计算这个积分，它将提供一个更准确的矩阵，您必须找到该矩阵的特征值。$x_i$$f(x)$

当然，如果你已经做了有限元，你不妨投资使用高阶元素，这在 1d 中也不是那么困难。