界限

这仍然是正确的。在Butcher 的书中，第 196 页，它说如下：在1985 年的一篇论文中，Butcher 表明您需要 11 个阶段才能获得订单 8，这很尖锐。对于 10 阶，Hairer 导出了一系列 17 阶段方法，但不知道是否可以做得更好。Hairer, Norsett, & Wanner vol.的第 II.5 节给出了相同的信息。我。后一个参考还介绍了一些用于开发高阶对（最多 8 阶）的技术。

任何订单所需的最小阶段数都有一个上限，因为您可以通过外推来构建它们。这已经为人所知很长时间了。请参阅我最近的这篇论文以获得解释。然而，这个界限在顺序上是二次的，而且肯定是相当悲观的。 下面讨论的 nodepy 软件可以为这些方法生成精确的系数，也可以为任何阶的延迟校正方法（Runge-Kutta 方法）生成精确系数。

我相信@Etienne 说手工构建的最高阶方法归功于 Terry Feagin 是正确的。关于他的其他评论，本文包含一些 9(8) 对：

JH Verner，具有低阶阶的高阶显式 Runge-Kutta 对，应用数值数学，第 22 卷，第 1-3 期，1996 年 11 月，第 345-357 页

订购新条件的数量$n$等于具有 n 个节点的未标记有根树的数量。这是订单条件（累积）数量的表格$N$每个订单都需要$p$; 该表比文献中提供的表更进一步，并且是使用 nodepy 生成的：

p | N
-----
1 | 1
2 | 2
3 | 4
4 | 8
5 | 17
6 | 37
7 | 85
8 | 200
9 | 486
10| 1205
11| 3047
12| 7813
13| 20299
14| 53272

较高值的条件数$N$可以通过获取OEIS 序列 A000081的累积和来轻松计算。

软件

对于非常高阶的方法，顺序条件的数量和复杂性变得无法手动处理。一些符号包（至少是 Mathematica）具有生成 Runge-Kutta 顺序条件的能力。可能还有其他一些软件包，但我知道以下内容（我都写过）：

• nodepy：一个 Python 包，可以为任意顺序的顺序条件生成符号表达式和代码。它还包括用于检查这些条件、计算误差系数等的 Python 代码。
• RK-Opt：一个 MATLAB 包，除其他外，它可以找到高阶 Runge-Kutta 方法，其系数针对几个不同的目的进行了优化。它目前无法处理 9 阶显式 RK（对于 stage-order-one 方法它上升到 8th order，对于具有更高 stage order 的方法它上升到 10 order）。如果您对此感兴趣，我可以很容易地添加 9 阶（及更高阶）条件。

关于订单条件的另一个有趣的注意事项，在如此高的订单中变得很重要，有两种方法可以推导出它们，它们给你不同的（但总体上等价的）条件：一个是由于 Butcher，另一个是 Albrecht。

@DavidKetcheson 的回答很重要：您总是可以使用外推法构造足够高阶的方法，这是一个非常悲观的界限，您总是可以做得更好，所有好的方法都是手工推导出来的（在一些计算机的帮助下代数工具），没有已知的下界，最高阶的方法归功于费金。鉴于一些评论，我想通过讨论该领域当前最先进的画面来完善答案。

如果你想要一份 RK 表格概要，你可以在这个 Julia 代码中找到一个。他们来自的论文的引用在画面构造函数的文档字符串中。DifferentialEquations.jl 的开发人员文档列出了所有这些可供使用的表格，您可以在此处看到这些表格都使用 Travis 和 AppVeyor 持续集成套件进行了测试，以确保不仅满足订单条件，而且它们实际上达到要求的收敛（验证测试）。从这些可以看出有：

• 5 阶 9 方法
• 6阶10种方法
• 2命令12方法
• 1阶14法

（我可以找到已发布的内容）。再一次，都是手工派生的。

收敛性测试表明，某些推导的精度不够高，无法处理超过 64 位的数字（它们被这样评论）。所以这是一个需要注意的有趣的怪癖：在这些高阶下，您通常只会得到“误差x”满足顺序条件的系数，但是当使用任意精度算术时，您实际上可以检测到这些界限。因此，您执行系数的精度确实很重要，您应该选择它来覆盖您希望测试的精度（/当然是使用）。

如果你想要一堆稳定性图，你可以plot(tableau)使用 Plots.jl 配方。可以在 Peter Stone 的网站上找到一组很好的笔记，其中有很多这样的记录（转到下面并单击说 order 10 方案，你会得到一堆 PDF）。在开发DifferentialEquations.jl 时，我创建了一组表格来系统地处理测试问题/查看分析指标以查看哪些应该包含在主库中。我在这里做了一些简短的笔记。从主库中包含的算法可以看出，我发现值得的是 Verner 和 Feagin 方法。Verner 9 阶方法是最高阶方法，其插值也匹配阶数。这是需要认识到的：Feagin 方法没有匹配的插值（尽管您可以引导 Hermite，但这确实效率低下）。

由于它们都是通过非常有效的实现来实现的，因此您可以自己玩弄它们，看看不同的特性实际上有多么重要。这是一个 Jupyter 笔记本，它显示了 Feagin 方法的使用。请注意，收敛图确实会1e-48出错。仅当您确实需要非常低的容差时，高阶方法才比低阶方法更有效。您可以在 DiffEqBenchmarks.jl找到一些使用其中一些的基准，尽管使用它们时通常是 9 阶 Verner 方法，并且通常表明基准不在这种高阶有效的状态下。

因此，如果您想尝试并使用一些高阶方法，我发现 RK-Opt 是推导某些方法的好工具（正如@DavidKetcheson 所提到的），DifferentialEquations.jl 具有所有已发布的方法（我认为？ ) 实施，以便您可以轻松地对它们进行测试/基准测试。但是，除非您找到可以放弃的假设，否则从我的测试中，我无法找到能够击败 Verner（订单 6-9）和 Feagin（订单 10+）方法的东西。不过，YMMV，我很乐意看到更多的研究。