首先，让我们确定它们是一个不错的选择。SciMLBenchmarks可能是目前最全面的现代方法。这使用了DifferentialEquations.jl中可用的大量方法。让我们检查一下非刚性 ODE：

• 100 个独立线性工作精度图
• 三体工作精度图
• 昴宿星工作精度图
• 刚体工作精度图
• Fitzhugh-Nagumo 工作精度图
• Lotka-Volterra 工作精度图

为了确保这一点，让我们看看一些针对 MATLAB、Python 和 R的基准测试，看看这些实现是如何优化的，比 MATLAB/Python/R 中的实现高出 50 倍以上。因此，对于快速实现，Runge-Kutta 方法似乎在非刚性 ODE 上表现良好，而且考虑到多步方法的成本/错误真正具有竞争力时，这种情况非常罕见。

为什么？

是什么补偿了计算成本增加了 7 倍？

有两个主要因素。其中之一是稳定性。显式的 Adams-Bashforth 方法非常不稳定，随着它们有序增长而失去稳定性，因此它们在实践中不是很有竞争力。

因此，使用多步方法的非刚性 ODE 优化软件通常不使用 Adams-Bashforth 方法，而是使用Adams-Bashforth-Moulton 系数。

但是等等，ABM 是隐含的，这是否意味着它适用于僵硬的方程？不，这是一个非常简单的观点。事实上，刚性方程也有显式积分器，因此“隐式 = 刚性”的观点过于简单。相反，隐式方法可用于非刚性方程，方法是使用不太稳定的方法来求解非线性系统。即你作弊一点，不要使用牛顿（更稳定），而是使用定点迭代（带有预测校正器）形式。但是，一旦您进入这种形式，更新需要求解定点迭代，因此“多步方法只需一次f调用即可更新”从方程中看起来是正确的，但在实践中并不正确。因此，微积分变得更加模糊。即使这样，

到 5 阶时，您就处于像欧拉方法一样的稳定性……因此，虽然像CVODE亚当斯系数、VCABM、ode113等的方法在技术上都可以达到 13 阶，并且只需很少的函数迭代就可以迈出巨大的步伐，但实际上这不会发生往往是因为稳定性的限制。

作为参考，请查看 Dormand-Prince 8/7 方法的稳定区域：

这个实际上并没有在实践中使用（与普遍看法相反，Dormand-Prince 8/7 方法不是 dop853 中使用的方法，而是一种不同的画面，仅在软件本身中有详细记录，但我离题了)，但它的稳定区域仍然大很多。这意味着，如果事情开始变得有点稳定，它可能会采取更大的成本措施。

但是所有这些其他数字是什么？这将我们带到第二个主要因素：截断误差的主要系数。与大多数数学家所希望的相反，数值 ODE 求解的目的不是使。事实上，恰恰相反：你想让尽可能大（以达到你希望的容错为准）。因此，考虑渐近过于简单。Runge-Kutta 世界的人注意到，如果你优化截断误差的前导系数，那么即使不为零，最大误差项仍然很小，这可以允许采取更大的步长。的确，$\Delta t \rightarrow 0$$\Delta t$$\mathcal{O(\Delta t^n)}$$\Delta t$Dormand-Prince 方法（ode45 背后的画面）是这些“领先的截断误差优化”方法之一。（实际上，它做了一个假设并在该约束下进行了优化，而 Tsitouras 在 2011 年放松了这一约束并创建了一个系数降低 20% 的画面，如果你回过头来查看基准，你会发现这Tsit5就是平均表现略好于DP5，但这是细节）。但无论如何，与此相比，多步方法具有相当大的前导系数值，这意味着要达到容错能力，它们可能需要更小的，因此最终需要更多的工作。$\Delta t$

这两个因素共同构成了一些重要因素。还有一些其他细节也很重要，但我认为你可以为此贡献大部分行为。

ode15s现在，为什么 BDF 方法CVODE适用于刚性方程？不会应用相同的前导截断错误参数吗？是的，确实如此，但是这些方法在刚性方程上进行了优化，因为它们采取的步骤很小。这是另一个完全不同的故事。

反对您的评论的一个论点

但是，据我了解，多步方法应该能够以更少的功能评估（每步一个而不是 Dormand--Prince 的每步七个）实现相当的精度（相同的收敛顺序）。

是多步方法（Adams-Bashforth）的稳定性区域随着阶数的增加而变小，而一步法（Runge-Kutta）的稳定性区域变大。

我认为最终您无需某些起点即可获得可比的性能。

见：切布芬