计算科学 - 求解具有矩阵参数的线性系统 - 吾爱随笔录

求解具有矩阵参数的线性系统

计算科学线性代数

2021-12-22 05:42:40

我们都熟悉解决标准线性系统的许多计算方法

A x = b .

$Ax=b.$ 但是，我很好奇是否有任何“标准”计算方法可以解决更一般的（有限维）线性系统的形式

L A = B,

$LA=B,$ 在哪里，说，

A

$A$ 是一个

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$ 矩阵，

B

$B$ 是一个

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$ 矩阵，和

L

$L$ 是一个线性算子

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$ 矩阵

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$ 矩阵，不涉及对矩阵进行向量化，即将所有内容转换为标准

A x = b

$Ax=b$ 形式。

我问的原因是我需要解决以下等式 $u$ ：

(R^{*} R + λ I) u = f

$(R^*R+\lambda I)u=f$ 在哪里

R

$R$ 是 2d Radon 变换，

R^{*}

$R^*$ 它的伴随，并且两者

u

$u$ 和

f

$f$ 是二维数组（图像）。可以对这个方程进行矢量化，但这很痛苦，尤其是在我们使用 3D 时。

更一般地说，关于 $nD$ 数组？例如，求解 $LA=B$ 在哪里 $A$ 和 $B$ 是 3D 数组（我也需要在某些时候使用 Radon 变换来执行此操作）。

在此先感谢您，如果您觉得有需要，请随时将我送到另一个 StackExchange。

2个回答

是的，你做对了，当你升级到 3-D 时它确实可以正常工作。最简单的部分，真的，是内积——只需在等效的展开上做一个标准的点积 $\mathbb{R}^n$ 向量。由于无论如何您都可能连续存储数据，因此您可以就地执行此操作。这甚至适用于复杂的向量空间——只需将复杂的值视为一对实数值。那是因为对于 CG 你需要真正的内在产品 $\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$ .

当您使用一般线性运算符实现 CG（或类似的迭代方法）时，您必须注意的一件事是正确实现线性运算符的伴随。也就是说，人们经常得到，但在实现时会出错。 $y=F(x)$ $z=F^*(y)$

我建议实施一个利用以下恒等式的简单测试：对于任何符合的和，所以你要做的是生成和的随机值，分别通过前向和伴随操作运行它们，并计算上面的两个内积。确保它们在合理的精度范围内匹配，并重复几次。 $x$ $y$

⟨ y, F (x) ⟩ = ⟨ F^{*} (y), x ⟩ .

$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$

x

$x$

y

$y$

编辑：如果你的线性算子应该是对称的，你会怎么做？好吧，你也需要验证对称性。所以使用相同的测试，只需注意 ---对和应用相同的操作。当然，OP 有一个不对称的算子和一个对称的算子来处理...... $F=F^*$ $x$ $y$

事实证明，因为我的系统是对称的和正定的（因为我的线性算子写成），所以共轭梯度可以适应迭代求解这种类型的方程。唯一的修改是在计算内积时——即 CG 中的典型内积计算看起来像或。在修改后的版本中，我们使用 Frobenius 内积，可以通过对 Hadamard（逐点）积的条目求和来计算。IE $R^*R+\lambda I$ $r_k^Tr_k$ $p_k^TAp_k$

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j}

$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$

我怀疑当我升级到 3D 数组时这会很好，尽管我还没有看到在 3D 数组上定义的 Frobenius 内积（我会假设我可以再次对逐点积求和）。

如果有人知道，我仍然会对更通用的方法感兴趣！

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