量化三角形网格不规则性的常用指标

计算科学 网格生成 几何学
2021-12-06 06:00:41

假设您在平面上有一个三角形网格。例如,这已被吸引到最终解决力学中的某些问题。

等边三角形的网格是最好的,因为顶点之间和质心之间的距离是相同的。这使得插值和梯度计算成为一项简单而准确的任务。然而,由于限制和环境,并不总是可以在所有等边三角形的网格上工作。

因此,这些问题是关于任意形状的三角形元素的网格。

关于单个网格元素哪些指标通常用于量化一个通用三角形与某个潜在的理想等边形状的差异?

关于整个网格哪些度量标准用于量化任意三角形网格的整体不规则性?这些指标应该表明网格的混乱程度。

感谢您的思考。

注意 来自有限元社区的所有贡献都非常感谢。对于这个问题,请注意,感兴趣的是纯粹量化几何形状(任意三角形与等边三角形)中的差异。随后对插值和调节误差的影响超出了范围。授予这些可能是有见地和相关的,它们使数学处理复杂化。

2个回答

正如@Nicoguaro 和@Paul 在问题帖子的评论中所说,有很多方法可以做这种事情,我不确定是否有单一的“最佳”方法。


来自伯克利的Jonathan Richard Shewchuck的回顾性研究,答案是:

在此处输入图像描述

请参阅原始文件(版本 31/12/2002)以了解符号、术语、特殊特征以及可能的更多信息(例如四面体)。第 6 章是关于质量测量的。链接的文档是加长版,在JRS的网页上也有删减版。


就个人而言,我是“体积长度”指标的粉丝。它是(各向同性)单纯形质量的良好稳健标量指标,并且计算成本低廉。二维:

a=433Aerms2

其中是三角形的有符号面积,是均方根边长。理想的元素达到,随着失真的增加,它趋向于零。具有相反方向的反转元素具有Aermsa=1a<0

要评估非结构化三角剖分的质量,通常会查看此类元素质量指标的直方图。那里有很多这样的东西的实现,但我的一个直接的MATLAB代码库在这里

除了体积长度分数外,默认情况下还会计算元素角度和顶点度数的直方图。

我认为这个问题一般不存在答案,因为这完全取决于网格的预期用途。例如,如果您正在做计算流体动力学,您可能希望在边界层附近有一个极度各向异性的网格。现在如果你在做计算电磁学,最好的网格可能会完全不同。

文献中有许多关于“网格质量”标准的不同定义。他们中的大多数人会喜欢尽可能等边三角形的网格。还可以提到最大化最小角度的想法(这是通过对一组固定点的 Delaunay 三角剖分实现的)。一条评论中提到的 Jonathan Shewchuk 的分析证明了这一点是合理的,该分析将这个角度与用 P1 元素离散的拉普拉斯方程的刚度矩阵的条件数相关联,但同样,根据预期用途,某人的良好网格可能是某人其他的网格很差。

我认为“纯粹量化几何中的差异(任意三角形与等边三角形)”是没有意义的:在测量三角形是否等边并决定哪个“等边性偏差”是最好的之前,有必要弄清楚“等边三角形”是否是我们想要的,但并非总是如此!这一切都来自您提到的“插值和调节”。是的,正如您所说的“它使数学处理复杂化”,但没有它,就不可能区分给定应用程序的客观标准和根本没有意义的标准。