由于我刚刚在一个软件中完成了很多优化，DifferentialEquations.jl，我决定只对主要的 Order 4/5 方法进行比较。Fehlberg 方法被排除在外，因为众所周知它比 DP5 方法效率低。

背景故事

冬眠王子 4/5

Dormand-Prince 方法被开发为精确为 4/5 对，使用局部外推（即使用 5 阶对进行步进。这是因为它被设计为接近最优（即最小）原则截断误差系数（在限制也有最少的步骤来实现 5 阶）。它有一个免费的 4 阶插值，但需要额外的步骤来实现 5 阶插值。

现金卡普 4/5

Cash-Karp 方法的开发是为了满足不同的约束条件，即更好地处理非光滑问题。他们选择了$c_i$，时间步长的百分比$i$第一步（即$t+c_i \Delta t$是时间$i$th step 被计算为尽可能均匀，但仍然达到 5 阶。然后它也被推导出来嵌入 1 阶、2 阶、3 阶和 4 阶方法，具有这种均匀性$c_i$. 它们以这样的方式隔开，您可以找出刚性部分从哪里开始，差异很大。此外，请注意，方程越僵硬，高阶方法的效果就越差（因为它需要高阶导数的界限）。因此他们制定了一种策略，使用 5 种嵌入式方法“提前退出”：即如果您检测到僵硬，则在阶段停止$i<6$减少函数调用的次数并节省时间。所以最后，这个“对”是在考虑到许多其他限制的情况下开发的，因此没有理由期望它会“更准确”，至少作为 4/5 对。如果您添加所有这些其他机器，那么在（半）刚性问题上，它会更准确（但在这种情况下，您可能希望使用不同的方法，如 W-Rosenbrock 方法）。这就是为什么这对没有成为 DP5 对的标准，但它仍然有用的一个原因（也许它对于在遇到刚度时切换到刚度求解器的混合方法会很好？）。

Bogacki & Shampine 4/5

为了完善答案，让我们讨论一下评论中提到的 Bogacki 和 Shampine 对。BS5 方法放弃了“使用最少的函数调用”的约束（它使用 8 而不是 6）为了做两件事：

• 获得非常低的原则截断误差系数。

• 生成具有较低误差系数的 5 阶插值。

这些系数是如此之低，以至于对于用户可能使用的许多公差问题，它的测量就像它的 6 阶一样。他们的论文表明，对于廉价的函数调用，这可以比 DP5 更有效，在 DP5 上的效率与 RKF5（Fehlberg 方法）大致相同。

你可以把二加二放在一起看看：等一下，Shampine 是开发 MATLAB ODE 套件的同一个人，这是在 BS5 pair 论文发表之后，MATLAB 的为什么不ode45使用 BS5 pair？一个原因是，它主要是在 BS5 对发布之前完成的。另一个原因是因为该ode45功能是为了最大限度地减少时间而开发的。虽然 BS5 对更有效（即获得更低的准确度），但ode45就是要有足够好的错误来制作足够好的情节。这意味着，为了处理大的步骤，它还在每个步骤之间产生两个额外的插值解决方案。对于 DP5 方法，有一个“免费”的 4 阶插值，因此这比使用 BS5 快得多。由于它在中等容差下也“足够准确”，因此将此方法设置为标准，因为它在进行交互式计算时提供了比 BS5 更好的标准用户体验（因此此选择是特定于上下文的）。

曲折的 4/5

这里少有人知道。它是在这篇论文中得出的。它是使用比 DP5 方法更少的假设推导出来的，并试图获得具有较低原则截断误差系数的对。在其测试中，它声明它实现了这一点。它还具有与 DP5 方法类似的自由 4 阶插值。

数值测试

我编写了数值包DifferentialEquations.jl，作为Julia 的一套非常全面的求解器。沿着战争路径，我实施了 100 多种 Runge-Kutta 方法，并进行了大量手动优化。三个手动优化的积分器是 DP5、BS5 和 Tsit5 方法（我没有做 CK5，因为正如背景故事中所指出的，它的主要情况是解决有点僵硬的问题。我认为处理它们的更好方法是使用 DP5/BS5 并根据需要以 LSODE 之类的方式切换到刚性求解器，但这是不同时期的故事）（查看它们接近最优的一种方法是这些方法比 Hairerdopri5实现更快，所以它们至少是体面的实现）。非刚性方程的许多龙格-库塔方法之间的检验可以在基准文件夹中找到。我正在添加更多，但你可以从线性 ODE 和三体问题工作精度图中看到，我测量 DP5 和 Tsit5 方法具有几乎相同的效率，在线性 ODE 中击败了 BS5 方法，而DP5和BS5在三体问题上几乎相同，Tsit5落后。从这些信息来看，至少目前，我已将 DP5 方法作为默认方法，与之前的建议相匹配。这可能会随着未来的测试而改变（或者您可以添加基准测试！随意贡献，或为 repo 加注星标以提供更多支持）。

结论

总之，Order 5 对是这样的：

• Dormand-Prince 4/5 对是一个很好的选择，因为它在原则截断误差系数方面得到了很好的优化，并且具有廉价的 4 阶插值，这使得它可以快速生成体面的图。

• Cash-Karp 对有更多的约束以更好地处理僵硬的方程。但是，要获得全部好处，您需要使用完整的算法和 5 种嵌入式方法。

• Bogacki & Shampine Order 5 方法在每个函数调用产生错误方面可能是最有效的（它有一个双重错误估计器，因此在更难的问题中它可能做得更好），但这允许它花费更大的时间步长。但是，如果您只是想生成一个平滑的图，那么您必须抵消这种方法：使用较低的容差（因此它需要比 DP5 更长的时间但错误更少）或使用更多的插值步骤。最后，这意味着它对于交互式应用程序可能不是更好，尽管它可能对某些科学计算应用程序更好。

• Tsitorous 4/5。是在最近（2011 年）开发的，以在正面比较中击败 DP5。我的测试并没有让我有理由相信它比 DP5 好得多，以至于它现在应该被视为新的标准方法，但未来的测试可能会开始对它有利。

编辑

我确实改进了 Tsit5 的实现。它现在在大多数测试中都比 DP5 做得更好，DifferentialEquations.jl 和 Hairer dopri 实现（尽管人们可能会惊讶于 DifferentialEquations.jl 实现实际上更快，这当然有助于 Tsit5 实现）。我现在推荐它作为默认的 4/5 顺序方法。

如果您有兴趣比较两个积分器求解

具有初始值$(q,p) = (1,0)$和$dt = 0.1$对于他们俩。然后绘制错误

对于一个合理的范围$t$（0 到 100，总共 1000 个时间步）并选择误差较小的积分器。此谐波振荡器测试将毫不费力地向您显示相位和幅度误差。

• PJ Channell 和 C Scovel。哈密​​顿系统的辛积分。计算物理学杂志 73, 468 (1973)。