确实，弱收敛在连续极限中是最关键的，因为$h\to 0$（例如，无法观察到任何收敛速度）。至少在希尔伯特空间中，它也与极限的非唯一性密切相关，因此只有随后的收敛（例如，你可以在接近不同的极限点之间交替，再次破坏速率），并且很难区分两者就收敛。

专门针对弱收敛$L^2$，你也有这样一个事实，即收敛不必是逐点的，你实际上可以在（足够精细的）离散化中观察到这一点。这是一系列最小化器的示例$\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$收敛为$\varepsilon\to 0$到

$$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$$ 收敛较弱但不是逐点的$[\frac13,\frac23]$（但几乎在其他任何地方都是逐点）。下图显示了序列中的三个代表性元素（对于$\varepsilon$已经很小了）。

这种现象在微分方程的 bang-bang 控制问题的近似中被称为“chittering”（即，解几乎处处都达到下限或上限的框约束问题）。

（这个具体的例子取自我们关于椭圆系统的 Multi-bang control 的论文，Ann. Henri Poincaré (C) 2014, 1109-1130, Remark 4.2。）

您提出的问题通常与实际问题无关，因为对于相同的解决方案序列，一个范数的弱收敛可能意味着另一个范数的强收敛。

举一个例子，假设我们用标准有限元在凸多边形域上用足够光滑的右手边求解拉普拉斯方程。然后解决方案$u$在$H^2$, 但当然是有限元解$u_h$只在$H^1$. 我们确实知道$u_h \rightarrow u$强烈地在$L_2$和$H^1$作为最大网格尺寸的规范$h\rightarrow 0$因为我们有先验误差估计$\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$和$\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$.

但显然我们不能指望$u_h \rightarrow u$强烈地$H^2$因为$u_h$只在$H^1$. 但我们可能有$u_h \rightharpoonup u$弱在$H^2$（事实上​​，我认为这是成立的）。这可能意味着这样的陈述

$$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$$

关键是弱收敛与强收敛的问题通常是您所查看的规范的问题，而不是您从方法中获得的解决方案序列的属性。