计算科学 - 三次特征值问题的 Jacobi-Davidson 方法的实现 - 吾爱随笔录

我有一个很大的三次特征值问题：

(A_{0} + λ A_{1} + λ^{2} A_{2} + λ^{3} A_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

我可以通过转换为线性特征值问题来解决这个问题，但这会导致系统 $3^2$ 一样大：

[\begin{matrix} - A_{0} & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

在哪里 $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$ . 还有哪些其他技术可用于解决三次特征值问题？我听说有一个版本的 Jacobi-Davidson 可以解决它，但还没有找到实现。

此外，我需要能够以类似于 ARPACK 的移位和反转方法的方式定位特定特征值并找到相关的特征向量。