计算科学 - 矩阵条件数会影响迭代线性求解器的精度吗？ - 吾爱随笔录

计算科学线性代数数值分析线性求解器

2021-11-24 09:17:32

关于条件编号，我有一个相当具体的问题。我运行的 FEM 模拟具有多个长度尺度，这导致矩阵中最大条目和最小条目之间存在巨大差异。在某些情况下，条件数可以高达 10^15。

在数值分析中，我经常看到条件数的误差范围，因为它适用于使用直接方法计算的解决方案中的误差。我的好奇心是这种逻辑是否适用于迭代型求解器（如 CG 或 GMRES）中的错误。我知道收敛速度受矩阵特征值的影响，并且在运行此类问题时我确实注意到巨大的速度损失。但是，我不确定准确性。任何帮助，将不胜感激。

2个回答

病态条件是方程组的一个特征，而不是用于求解方程组的算法的一个特征。如果您的系统状况不佳（ $10^{15}$ )，那么您可以期望系统的解决方案对问题数据的任何扰动都极为敏感，即使解决方案是使用直接因式分解以极高的精度（例如 500 位）算术完成的。

您的迭代方法不太可能在任何合理的时间内收敛到一个解决方案。即使您愿意等待几个世纪，您得到的解决方案仍然对问题数据中的任何扰动极为敏感。

我们应该在这里更精确。你能给出的最简单的估计是

| | x^{*} - x | | = | | A^{- 1} A (x^{*} - x) | | \leq | | A^{- 1} | | | | b - A x | |

$||x^* - x|| = ||A^{-1} A (x^* - x)|| \le ||A^{-1}||\,||b - A x||$ 因此，如果您使用残差终止迭代，您可能会偏离

| | A^{- 1} | |

$||A^{-1}||$ , 对于相对残差

κ (A) = | | A | | | | A^{- 1} | |

$\kappa(A) = ||A||\,||A^{-1}||$ 所以你可以简单估计你丢失了多少位数

\log κ .

$\log\kappa.$

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