我不完全熟悉现在对立方（多维积分）所做的事情，所以我将自己限制在正交公式中。

振荡积分求积有许多有效的方法。有适用于有限振荡积分的方法，也有适用于无限振荡积分的方法。

对于无限振荡积分，使用的两种更有效的方法是 Longman 方法和由 Ooura 和 Mori 改进的双指数求积法。（但另见 Arieh Iserles 的这两篇 论文。）

Longman 的方法依赖于通过拆分积分区间将振荡积分转换为交替级数，然后用序列变换方法对交替级数求和。例如，当积分形式的振荡积分时

$$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$$

将其转换为交替总和

$$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$$

这种交替和的项是用某种正交方法计算的，如 Romberg 方案或高斯正交。Longman 的原始方法使用Euler 变换，但现代实现用更强大的收敛加速方法代替 Euler，如Shanks 变换或Levin 变换。

而双指数求积法则巧妙地改变变量，然后利用梯形法则对变换后的积分进行数值计算。

对于有限振荡积分，Piessens（QUADPACK 的贡献者之一）和 Branders 在两篇 论文中详细介绍了对 Clenshaw-Curtis 求积的修改（即构造被积函数非振荡部分的 Chebyshev 多项式展开式）。另一方面，Levin方法对求积使用搭配法。（我听说现在有一个更实用的旧备用版本，Filon 的方法，但我没有这方面的经验。）

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这些是我临时记得的方法；我确定我已经忘记了振荡积分的其他好方法。如果我记得他们，我稍后会编辑这个答案。

除了“多维与一维”和“有限范围与无限范围”之外，方法的一个重要分类是“一种特定类型的振荡器（通常是傅立叶类型：$\sin(t)$,$\exp(it)$等，或贝塞尔类型：$J_0(t)$等）与更一般的振荡器（$\exp(i g(t))$甚至更通用的振荡器$w(t)$)”。

起初，振荡积分方法专注于特定的振荡器。正如JM所说，突出的方法包括有限范围积分的 Filon 方法和 Clenshaw-Curtis 方法（这两者密切相关），以及无限范围积分的基于级数外推的方法和 Ooura 和 Mori 的双指数方法。

最近，已经发现了一些通用方法。两个例子：

1. Levin 的基于搭配的方法$\exp(i g(t))$( Levin 1982 )，或以后的任何振荡器$w(t)$由线性 ODE 定义（由JM链接的Levin 1996）。Mathematica 将Levin 方法用于更专业规则未涵盖的积分。

2. Huybrechs 和 Vandewalle 的方法基于沿复杂路径的解析延拓，其中被积函数是非振荡的（Huybrechs 和 Vandewalle 2006）。

对于更一般的方法，有限和无限范围积分的方法之间没有必要区分，因为紧化变换可以应用于无限范围积分，导致仍然可以用一般方法解决的有限范围振荡积分，尽管有不同的振荡器。

莱文的方法可以通过迭代维度和其他方式扩展到多个维度，但据我所知，迄今为止文献中描述的所有方法都有样本点，这些样本点是一维样本点或其他东西的外积随着维度呈指数增长，因此它迅速失控。我不知道高维度的更有效方法；如果可以在高维度的稀疏网格上找到任何样本，它将在应用程序中有用。

在大多数编程语言（C、Python、Fortran 等）中，为更通用的方法创建自动例程可能很困难，在这些语言中，您通常希望将被积函数编程为函数/例程并将其传递给积分器例程，因为更多一般方法需要知道被积函数的结构（哪些部分看起来是振荡的，什么类型的振荡器等），不能将其视为“黑匣子”。

您还可以查看 Marnix Van Daele 和合著者的作品。参见例如this和this。