简而言之，QR 算法应用于矩阵$A$是收敛到实 Schur 分解的迭代过程：酉矩阵$Q$和一个矩阵$R$以块上三角形形式（见下文），使得$A = QRQ^T$. 由此可见，列$Q$是特征向量（这是计算的主要对象！）并且$R$具有相同的特征值$A$.

关键点是块上三角形式，这意味着

• 尺寸$1\times 1$， 在这种情况下$R_{ii}$是（实）特征值$A$， 或者
• 尺寸$2\times 2$， 在这种情况下$R_{ii}$有一对复共轭特征值$A$（如$2+i$和$2-i$）。

因为你可以计算特征值$2\times 2$分析矩阵（作为二次多项式的根），从计算的（近似值）中提取复杂的特征值是一个便宜的步骤$R$最后——这就是eigvals它的作用。

所以你的概念误解如下：每一个真实的$n\times n$矩阵有$n$特征值，但它们不必是真实的（或不同的）——看看 Richard Zhang 现在删除的例子，$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, 具有特征值$\pm i$. 只有当矩阵对称时，特征值才能保证为实数（并且矩阵$R$对角线） - 所以你的代码只适用于对称矩阵。如果输入矩阵是非对称的，您还必须通过识别$2\times 2$块（例如，通过检查下对角元素是否大于容差），如果是，则通过公式计算特征值。

这有点乏味，但是如果您愿意作弊并eigenvalues使用$2\times 2$块，您的代码的以下修改将做到这一点：

using LinearAlgebra
A = [7 3 4 11 -9 -2;
    -6 4 -5 7 1 12;
    -1 -9 2 2 9 1;
    -8 0 -1 5 0 8;
    -4 3 -5 7 2 10;
    6 1 4 -11 -7 -1]
M = copy(A)

for i=1:100
    global M
    Q,R = LinearAlgebra.qr(M);
    M=R*Q;
end

eig = Complex{Float64}[]
let
    i=1
    N=size(M,1)
    while i<N   
        if abs(M[i+1,i])<1e-10             
            append!(eig,M[i,i])         
            i+=1         
        else             
            append!(eig,eigvals(M[i:i+1,i:i+1]))         
            i+=2         
        end                 
    end
    if length(eig)<N
       append!(eig,M[N:N,N:N])
    end                 
end       

忘记 QR 算法，记住什么是特征值 - 它们是矩阵特征多项式的根（参见例如https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial）。对于 N 阶实数矩阵，这是具有实系数的 N 阶多项式。但实系数并不一定意味着实根，你可能有复共轭对。因此，一般实矩阵可能具有复特征值。

我已经多次使用这个方程来测试收敛性。第一行的 11 应该是 -11。运行 QR 算法而不移动，就像矩阵一样，大约 60 次迭代会产生一个矩阵，其特征值几乎完全显示在对角线上，即使是复杂的。5+-6i 在前两行，4 和 3 在接下来的两行，最后是 1+-21 在右下角。不要认为在不计算 2x2 矩阵特征值的情况下，复杂值通常会如此清晰地显示。