如果您的矩阵是从标准正态 iid 条目中提取的，则为正定的概率约为$p_N\approx 3^{-N^2/4}$，例如，如果$N=5$，则概率为 1/1000，并且在那之后下降得很快。您可以在此处找到有关此问题的扩展讨论。

您可以通过接受矩阵的特征值分布近似于Wigner semicircle来稍微直观地得出这个答案，它关于零对称。如果特征值都是独立的，那么通过这种逻辑，您将有的正定机会。实际上，由于特征值之间的相关性和控制特征值大偏差（特别是最小和最大偏差）的规律，具体来说，随机特征值非常类似于带电粒子，并且不喜欢彼此靠近，因此它们相互排斥（奇怪的是具有与带电粒子相同的势场，，其中$(1/2)^N$$N^2$$\propto 1/r$$r$是相邻特征值之间的距离）。因此，要求他们都持积极态度将是一个非常高的要求。

此外，由于随机矩阵理论中的普遍性定律，我强烈怀疑上述概率可能对于基本上任何“合理”随机矩阵都是相同的，具有有限均值和标准偏差的 iid 条目。$p_N$