一个预条件子，比如 M，是系统矩阵的一个近似值，比如 A，它将问题变成另一个具有改进特征值谱的问题。一个完美的预条件子将是 A 的逆，即 inv(M) = A。

不幸的是，这个逆通常不可用，计算太复杂，需要更多空间来存储，因为在分解过程中引入了填充，并且还可能遭受舍入错误。因此，预条件子应该易于计算和应用且有效。

除了像 Jacobi 或 Gauss-Seidel（或 SOR）这样的基本预处理器之外，最常见的预处理器之一是 ILU（对称问题中的 IC - 您正在研究 CFD，因此系统或非对称）

预处理器的选择通常取决于您的问题。ILU 有很多变种，如 ILUT、ILUS、MILU 等。您可以查阅我在最后添加的文献。对于难度较小的问题，可以使用 ILU(0)，但随着问题变得更难，即雷诺数增加，应该使用更多的填充（例如 ILU(1)）和阈值策略 (ILUT)。问题是，ILU 的高级使用需要更多的内存和稀疏模式的确定，这现在与您的系统矩阵不同。在这种情况下，您必须先用符号计算稀疏模式，然后再用数字计算。

有几个减少计算工作的想法，

• 使用滞后的预条件子，即使线性系统发生变化，也可以避免重新计算预条件子。
• 使用 LU-SGS 之类的预处理器，可以通过通量分裂算法有效实现。
• 使用无矩阵方法——我在博士工作中喜欢的方法。不需要雅可比的 Newton-Krylov 求解器期望预条件子，它通常使用低阶近似计算并且可能使用基于颜色的算法（尽管在非结构化问题中更难）。
• 仅使用像拉普拉斯算子这样的扩散算子并避免对流项（在减少迭代次数方面效率不高）
• 多重网格，您可以在网格层次结构中使用简单的平滑器，例如 w-Jacobi 或 SOR。对于非结构化问题，您应该使用代数多重网格 (AMG) 而不是几何。
• 和许多其他人（将我的条目数乘以 10）..

由于该问题是非对称的，因此主要使用两个求解器：GMRES 或 BiCGStab。（QMR 或 TFQMR 是其他选择，但我相信它的性能低于这两者）。如果您没有存储问题但由于存储的向量需要重新启动，GMRES 通常是一个更好的求解器 - 这是一个问题是预处理器很差或者您有非常大的自由度。BiCGStab 只需要四个 Matrix-Vector 乘积，这对于大问题很好，但通常不如 GMRES。（我更喜欢 GMRES，但我非常喜欢 BiCGStab！）

所有这些预处理器，线性求解器问题都非常复杂。我可以推荐一些书来阅读。你的起点应该是线性系统解决方案的模板这是一本免费的书。本书解释了作为独立求解器和 Krylov 求解器上的预处理器的平滑器。您还可以参考 Yousef Saad 的“稀疏线性系统的迭代方法”。它在您所在机构的图书馆中是确定的。第一版也可在此处获得。

在结束之前，我建议您查看Petsc、Trilinos甚至Hypre等框架以及1提供的文件。它们为预调节器提供了一些编程。实际上还有更多书籍可以提供，但也可以看看 Ke Chen 的“Matrix Preconditioning Techniques and Applications”。本书提供了 Matlab 代码。

祝你旅途愉快，你需要它。

Y. Saad 的书也是求解器和预处理器的标准参考资料之一。