我想知道是否有任何实用的方法来获得的近似值（其中是某个给定的最终时间），这可证明对 [原文如此] 数字是正确的.$\mathbf{x}(t_f)$$t_f \in \mathbb{R}$$N$

这一切都取决于您对区间算术实用性的看法。有可用的经过验证的集成器，例如 Martin Berz 小组的COZY代码。您可能想查看 Neumaier、Nedialkov、Berz & Makino、Chachuat、Stadtherr 以及其他一些团体的论文。他们的论文倾向于使用“泰勒模型”、“验证积分器”和“区间算术”等短语。

显然，这对于任何函数都是不可能的，因为可能有一些疯狂的行为，会极大地改变真正的解决方案，但不是t 在任何合理数量的评估中都得到了认可。因此，我也有兴趣知道在上需要什么样的良好行为条件（例如，所有偏导数都存在且有界，小的 Lipschitz 常数等）才能做到这一点。$f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$f$$f$

标准证明（例如，我在想 Dahlquist 的证明）通常使用 Gronwall 类型的不等式作为误差界限，所以理论上，您应该只需要在的域上的有界 Lipschitz 常数你关心的，这说明了 WolfgangBangerth 正在谈论的一些内容，尽管我不知道像 Hairer 和 Wanner 这样的研究生水平的教科书会专门讨论你可以评估准确性; 海厄姆关于数值方法的准确性和稳定性的书可能会讨论这一点。$\mathbb{R}^{n}$$f(\mathbf{x})$

在实践中，对于我上面提到的泰勒模型方法，您通常需要结合理论和实践条件。理论部分很简单：如果你想要一个阶泰勒模型，你需要一个中的函数。涉及实用性问题的实施部分更难。$k$$C^{k}$

从用户的角度来看，这些集成商归结为两件事：

• 我有评估的源代码吗？（一个目标文件是不够的。）$f$
• 我可以扩充此源代码以与自动微分库以及区间算术库兼容吗？

假设函数可以被解析或运算符重载（取决于所使用的自动微分技术），并假设您可以生成一个函数来计算及其前个导数的区间扩展，那么您可以实现一个经过验证的积分方法阶泰勒模型。$f$$k$$k$

至于典型的 ODE 求解方法，评论 Wolfgang 的回答：

我不认为您可以获得错误低于某个数字的证书，但您会发现估计值低于您的容忍度。

任何具有嵌入式误差估计器的方法都具有 Wolfgang 所引用的信息。通常，这意味着积分方法确实计算了两个（或更多的解决方案；例如，DOP853 计算了 3 个解决方案）的解决方案，并通过一些范数对它们进行比较。假设是更高阶的解决方案更准确，这实际上可能不是真的，这取决于给定的问题、时间步长、初始条件等。实现返回的解决方案可以是计算出的任何候选解决方案。以常见的 Runge-Kutta 4(5) 案例为例，可以返回 4 阶解或 5 阶解；典型的方法使用 Dormand-Prince 公式，它使 5 阶解中的误差最小化，并返回它，而不是 4 阶解，因为五阶解更有可能更准确。除了看稳定性问题，我认为你应该看看错误控制（Hairer 和 Wanner 的第 II.4 节）；稳定性是必要的，但不足以保证准确性。

相反，经过验证的积分器将计算包含真实解的区间。如果这个区间的上下界一致$M$数字，那么那些是第一个$M$真正解决方案中的数字，这是准确性的证明，听起来像你想要的。

您的第一个问题实际上是您可以从大多数罐装 ODE 积分器那里得到的东西，因为它们都以一种或另一种方式跟踪错误的估计。我不认为您可以获得错误低于某个数字的证书，但您会发现估计值低于您的容忍度。

您的第二个问题更难回答：您可以评估的准确性之间的关系是什么$f(\mathbf x)$以及这如何影响您的解决方案的准确性（假设您可以精确地集成 ODE）。这两个精度之比就是您的 ODE 的稳定常数。这将取决于诸如规范之类的事情$f$, 的范数$\nabla f$，以及您积分的时间段的长度（它通常会以指数方式取决于此间隔长度）。大多数关于数值 ODE 的教科书都会有关于稳定性的部分。