我有一个泊松方程，材料参数变化很大（1 .. 1000），元素尺寸变化很大（5 nm .. 100 um）和一些相当各向异性（四面体）的元素（100 nm x 100 um）。我使用（C++ 端口）Dan Spielman 的 approxChol作为预处理 CG 方法的预处理器。它收敛得非常快（大约 20 次迭代），但预条件 CG 方法的收敛测试有时会过早停止迭代，特别是如果我开始迭代时对解决方案有一个“好的”初始猜测。终止标准是残差的L2范数小于右手边L2范数的1e-6倍。我查看了一些 CG 的实现和一些描述 CG 的文档，它们似乎都将其用作终止标准。

我想知道我的收敛测试问题是否是由我的矩阵的不良条件引起的，以及使用预处理残差作为终止标准是否是个好主意。但是为什么没有其他人这样做呢？也许是因为必须额外计算$M^{-1}b$为了评估$b^TM^{-1}b$? 可以一个用$x_0^Tx_0 + r_0^TM^{-1}r_0$反而 （$r_0^TM^{-1}r_0$无论如何都要计算）以避免额外的成本？（但无论如何额外的成本似乎很小，所以......）