我正在尝试编写一个 Python 程序来使用 Tanh-sinh 求积来计算 但尽管程序在每种情况下都收敛到一个没有错误的合理值，但它并没有收敛到正确的值（对于这个特定的积分是），我找不到问题所在。

$$\begin{equation} \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation}$$ $\pi$

该程序不是要求所需的准确度，而是要求所需的函数评估次数，以便更容易地比较收敛与更简单的集成方法。评估的数量需要是奇数，因为使用的近似值是 谁能建议我可能做错了什么？

$$\begin{equation} \int_{-1}^1 f(x) dx = \sum_{k=-n}^n w_k f(x_k) \end{equation}$$

import math

def func(x):
    # Function to be integrated, with singular points set = 0
    if x == 1 or x == -1 :
        return 0
    else:
        return 1 / math.sqrt(1 - x ** 2)

# Input number of evaluations
N = input("Please enter number of evaluations \n")
if N % 2 == 0:
    print "The number of evaluations must be odd"
else:
    print "N =", N  

# Set step size
h = 2.0 / (N - 1)
print "h =", h

# k ranges from -(N-1)/2 to +(N-1)/2
k = -1 * ((N - 1) / 2.0)
k_max  = ((N - 1) / 2.0)
sum = 0

# Loop across integration interval
while k < k_max + 1:

    # Compute abscissa
    x_k = math.tanh(math.pi * 0.5 * math.sinh(k * h))

    # Compute weight
    numerator = 0.5 * h * math.pi * math.cosh(k * h)
    denominator = math.pow(math.cosh(0.5 * math.pi * math.sinh(k * h)),2)
    w_k =  numerator / denominator

    sum += w_k * func(x_k)

    k += 1

print "Integral =", sum