实践经验表明，试图获得好的初始迭代没有什么价值。例如，在求解偏微分方程的情况下，如果您从一个网格中获取解，将其插入到更精细的网格上，然后将其用作 CG 迭代之类的初始猜测，以在更精细的网格上解决相同的问题，那么事实证明，与使用零向量开始迭代相比，您只需要可以忽略不计的迭代次数。增益不值得代码或进行插值的时间。

但是，如果您遇到非线性问题，或者您使用的是定点迭代而不是 CG 之类的东西，情况就大不相同了。

它甚至可能是有害的。

在 Liesen/Strakos Krylov 子空间方法原理和分析（第 5.8.3 章）中，据报道，非零初始x0值使 GMRes 迭代x0在开始逼近所需解之前首先删除不需要的分量。

如果使用非零初始猜测，则应通过Hegedus 技巧重新调整；参见Krypy 包中的解释和实现。

PS：尽管如此，在时间步长方案中求解线性系统时，我在非零初始猜测方面取得了很好的经验。

这个答案是 Wolfgang Bangerth 的答案的补充。

如果有任何工作要做：编码、求解、插值等，对于迭代线性求解器的初始猜测当然不值得打扰。因为与零向量相比，正确的初始猜测的效果将非常小的。

然而，在某些情况下，一个不错的初始猜测实际上已经可用。一个示例是具有恒定（过频）网格的频率扫描。

比方说，由于频域中的某些激发，人们计算了物体的散射模式，并希望得到一组频率的解（$\{f_1,\ldots,f_N\}$– 排序）。现在，在解决$i$频率$f_i$，使用先前频率的解决方案完全有意义$f_{i-1}$作为初步猜测。解决方案$f_{i-1}$已经计算过了，不需要进行插值——因此，节省了几次迭代，成本几乎为零。

旁注：

• 从头开始通常是有意义的$f_N$下降到较低的频率$f_1$在频率扫描期间，较高频率的解决方案成为较低频率的初始猜测。
• 当然，如果频率在$\{f_1,\ldots,f_N\}$非常分开和解决方案$f_i$与$f_{i-1}$th - 很难从这种最初的猜测选择中受益。