数值精度并不完美。在计算过程中会出现舍入错误。使用浮点数时，不要检查它们是否 = 0，而是检查它们到 0 的绝对距离是否小于某个 epsilon。

[编辑] 另一种观点：64 位浮点数表示离散集。要使函数完全可逆，它应该是从到的双射。假设我们对像这样快速增长的函数感兴趣。在某一时刻，。如果是中的最大元素，则。严格版本是不允许的，因为中$S$$f$$S$$S$$\exp$$\exp x > x$$M$$S$$f(M)\ge M$$f(M)> M$$M$$S$. 从道德上讲，像有限集上的双射一样的单调函数是一个排列，并且具有非常有限的自由度，它可能仅限于恒等式，或者是反转集合中元素顺序的反恒等式. 在这些琐碎的例子之外，单调函数不能是双射。

在实践中，这是由于有限精度的数值计算（例如64-bit浮点），尤其会影响涉及无理数的函数。整数或二次幂和的计算可能不太敏感。如果你敢于绘制数值误差，你会得到类似的东西：

带Matlab代码

x=linspace(1,10000,10000);
y = exp(log(x))-x;
plot(x,y,'.');
xlabel('x');
ylabel('y');

所以你可以看到最大误差随着值的传播。如果你想做某事，你可以检查和限制一个相对误差，特别是如果你的变量分布在一个很大的范围内。

更奇怪的是，如果你只是交换函数，比如：，在这种情况下，错误的数值为零。$\log(\exp(x))-x$

x=linspace(1,700,10000);
y = log(exp(x))-x;
plot(x,y,'.');
xlabel('x');
ylabel('y');

基本问题是通常在使用固定精度浮点格式时。由于pidgeonhole 原理，这与计算指数函数和对数函数的精度无关。$\exp(\ln(x)) \neq x$

在不失一般性的情况下，通过将二进制对数log2与 IEEE-754 二进制浮点格式之一结合使用，最容易证明这种效果。使用这种格式，每个二进制文件都包含相同数量的编码。如果我们计算log2两个连续的binade和所有结果都将落入单个binade中。由于可用的源编码是目标编码的两倍，因此根据 pidgeonhole 原理，我们必须有大量的冲突。$[4,8)$$[8,16)$$[2,4)$

所有对数都是收缩运算。这意味着当使用固定精度浮点计算时，多个输入可以映射到同一个输出。由于这种压缩，信息会丢失，因此，当我们将中的数字扩展回时，对于许多，即使两个函数都正确使用了全面实施。$[2,4)$$[4,16)$exp2$x$

颠倒操作顺序，即使用扩展操作后跟收缩逆操作，我们有时可以保证每个操作数往返成功，只要没有中间溢出或下溢，并假设正确舍入操作。我不知道（副手）这是否保证，但Laurent Duval 的回答中的图表似乎暗示了这一点。本文表明，的平方根恰好是。$x$$\ln(\exp(x)) = x$$x$$\lvert x \lvert$

如果您有符号工具箱，您可以通过以下方式解决问题

syms x
y = exp(log(x))-x
% y = 0