这里不需要使用 Schur 补码，因为$A$和$S$已经是对称的。这个问题作为 SDP 的传统表述是

$$\min t \quad\text{ subject to}\\ A-S+tI \succeq 0 \\ A-S - tI \preceq 0$$

产生形式的 SDP（我在这里特别说明，因为 SDP 有很多不同的“标准形式”）

$$\min c^{T}x\\ F_{0}+x_{1}F_{1}+...+x_{m}F_{m} \succeq 0$$

在哪里

$$x=[t\;\; S_{1,1} \;\; S_{1,2} \;\; S_{1,3} \; \ldots \; S_{n,n}]^{T}$$

有元素，矩阵的大小。 $1+n(n-1)/2$$F_{i}$$2n \times 2n$

对于的问题，这意味着您有大约 125,000 个变量和大小为 x的矩阵。原始对偶内点方法（在 SDPA、SDPT3、SeDuMi、CSDP 等中实现）需要在每次迭代中求解一个包含 125,000 个变量的 125,000 个方程的系统，并且该系统通常是完全密集的。 $n=500$$x_{j}$$1000$$1000$

这不是您可以在典型的台式机上执行的操作，但在具有足够 RAM（超过 128 GB）的更强大的服务器上可以实现。解决方案时间会相当长（10 多个小时）

Julia 实现的“分裂锥求解器”在我看来是一阶 ADMM 方法的实现，例如在

B. O'Donoghue、E. Chu、N. Parikh 和 S. Boyd。通过同质自对偶嵌入进行圆锥优化的算子分裂。

用于 SDP 的 ADMM 的问题在于它不能产生非常准确的解决方案（您通常最多只能获得两位或三位数的准确度），并且该方法需要大量调整才能获得良好的结果。它不像原始对偶内点方法那么健壮（从某种意义上说，它可以始终如一地解决您提出的所有问题）。

我不能保证这种方法在 Julia 中的具体实现，因为我从未使用过它。SDP 的其他一阶代码可能比 SCSSolver 做得更好。

凸优化文献中可能有一些关于这种谱范数最小化的工作，它甚至可以避免制定 SDP，但我不是该主题的专家。

您确定您真的需要矩阵 2 范数意义上的最佳近似值，而不是 Frobenius 范数吗？

稍后添加的注释：事实证明，在 Frobenius 范数中计算此投影的方法同样适用于计算谱范数中的投影。的正交对角化为 $A$

$A=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} u^{(i)}u^{(i)^{T}}$

然后

$S=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{+} u^{(i)}u^{(i)^{T}}$

当我写这个答案时，我知道这适用于 Frobenius 范数投影，但并不知道它也适用于 2 范数投影。对于非对称，或者如果有额外的约束，这个简单的公式不适用，SDP 公式可能仍然有用。$A$

根据论文

Nicholas J. Higham，MR 943997计算最近对称半正定矩阵，线性代数应用。 103 (1988), 103--118,

解决方案之一是以下形式， 其中是单位矩阵，是

$$A_{opt} = S + |\lambda| I$$ $I$$\lambda$$S$

由于是对称的，你可以用和对角化它，得到等价的公式 因此，对于 的任何正特征值，您可以使用将其减去。$A$$A=XDX^t$$S=XWX^t$

$$\text{minimize}\quad\|D-W\|_2, \qquad \text{s.to }W\geq0.$$ $d_i$$A$$W_{ii}=d_i$

我怀疑答案可能是绝对值的最大负特征值，其中相同的矩阵，但负特征值被置零，并且的正特征值减少到最多与.$|\lambda_-|$$A$$S$$A$$A-S$$|\lambda_-|$