我有兴趣计算相当大的等级，最大的数量级为 x，稀疏矩阵的整数都是 0、1 或 -1。我一直在尝试使用 Matlab 来实现这一点。特别是，我的方法是使用 QR 因式分解——将我的矩阵分解为，其中是置换矩阵，是正交是上三角矩阵——然后计算非的对角线上的零条目。$10^6$$10^6$$T$$TP=QR$$P$$Q$$R$$R$

使用 Matlab 的内置QR 函数，以下 Matlab 代码计算我的一些示例的正确排名。（我已经确认了一些针对 rank(full(T)) 的较小矩阵的排名。）

load(‘FILE_NAME.dat') 
T = spconvert(FILE_NAME);

tic

[Q,R,P]=qr(T);
[m,n] = size(T);
tol = max(size(T))*eps*abs(R(1,1));
r = 0;

while (r<min(m,n) & abs(R(r+1,r+1)) >= tol)
r = r+1;
end

tim=toc
r

也就是说，即使对于我的一些较小的矩阵，此代码似乎也相当慢且内存密集。例如，在其中一个约为 70,000 x ~50,000 的矩阵上，上述代码在 64 GB 服务器上需要花费数小时和大部分内存。（我注意到的一件事是，如果我将上面计算的 Q、R 和 P 保存到 .mat 文件中，文件大小似乎会快速增长。例如，当初始矩阵为 ~15,000 x 时，.mat 文件为 ~1 GB ~15,000)

是否有更好的（更快或更少内存密集型）方法来计算大型稀疏矩阵的等级？例如，一种更有效的实现 QR 分解的方法，甚至是完全不同于 QR 的方法？