计算科学 - Jacobi预处理器不减少条件数？ - 吾爱随笔录

假设您有一个通用矩阵 $A$ , 对角线条目 $a_{ii} = d>0$ . （不对非对角元素进行任何假设。）然后 Jacobi 预处理不会改善条件数，因为

κ (A) = | \frac{λ_{m a x} (A)}{λ_{m i n} (A)} |

$\kappa(A)= \left|\frac{\lambda_{\rm{max}}(A)}{\lambda_{\rm{min}}(A)} \right|$ 变成

κ (M^{- 1} A) = | \frac{λ_{m a x} (A) / d}{λ_{m i n} (A) / d} | = κ (A) .

$\kappa(M^{-1}A)= \left|\frac{\lambda_{\rm{max}}(A)/d}{\lambda_{\rm{min}}(A)/d} \right| = \kappa(A).$ 在这种情况下，使用 Jacobi 预处理器可以做任何有用的事情吗？