计算科学 - 求解超越存在的 ODE。发生了什么？ - 吾爱随笔录

求解超越存在的 ODE。发生了什么？

计算科学颂

2021-11-28 15:16:30

作为 ODE 课程的示例，我使用了 ODE

y^{'} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos (\frac{y}{x})}

$y' = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos(\tfrac{y}{x})}$ 来说明存在的领域。标准替代

z = y / x

$z=y/x$ 将方程变为

z^{'} = \frac{1}{x \cos (z)}

$z' = \frac{1}{x\cos(z)}$ 可以通过分离变量得到解

ϕ (x) = x \arcsin (\ln (x / x_{0}) - \sin (y_{0} / x_{0}))

$\phi(x) = x\arcsin(\ln(x/x_0) - \sin(y_0/x_0))$ 有初始值

ϕ (x_{0}) = y_{0}

$\phi(x_0)=y_0$ （并且解决方案不再存在于

x = x_{0} \exp (1 - \sin (y_{0} / x_{0}))

$x = x_0\exp(1-\sin(y_0/x_0))$ ）。

为了检查我的解决方案是否正确，我将解决方案与一些数值求解器（ode45来自 MATLAB）的输出进行了比较。由于我懒得找出解决方案不再存在的精确上限，所以我只是插入了一些上限并查看了结果。正如所料，奇怪的事情发生在存在点之外。然而，当比较数值解和计算的解时（顺便说一句，这是正确的），我注意到一些奇怪的事情：虽然由精确公式计算的解有问题（当 $\arcsin$ 变得大于 1 并且从那时开始在 MATLAB 上绘制实部并忽略解的虚部），“错误的精确解”以一种非常粗略、奇怪但不可否认的方式以某种方式遵循“错误的数值解”。这是情节 $x_0=1$ , $y_0=0$ ：

（红色是情节 $\phi$ 蓝色是ode45) 的输出。

这是为什么？超越存在的 ODE 求解器发生了什么？为什么它遵循不存在的复杂解决方案的真实部分？

1个回答

我会说关键是当你说“解决方案 $\phi(x)$ "，因为解决方案 ( $x_0=1, y_0=0$ )

\sin (y / x) = \log x

$\sin(y/x) = \log x$ 是其中之一

y = x (\arcsin \log x + 2 π k), y = x (π - \arcsin \log x + 2 π k)

$y = x\big( \arcsin\log x + 2\pi k \big), \qquad y = x\big( \pi - \arcsin\log x + 2\pi k\big)$ 对于适当的整数

k

$k$ . ODE 本身在奇点位置之外得到了很好的定义，这与从

(1, 0)

$(1,0)$ .

首先，步进函数有一个小错误——它应该能够正确检测到奇点，但事实并非如此。相反，它只是越过了奇点。

二、ODE 中的奇异点 $(x,y)$ -平面定义为 $\cos(y/x)=0$ ，所以在这种情况下，它是线 $y=\frac\pi2 x$ 这很重要。当 ODE 求解器逐步“通过”一个奇点时，它最终会达到某个值，即 $\tilde x$ 就在奇点位置之后 $x_{\mathrm{sing}}$ ，并且在 $\tilde y$ 就在奇异值的上方（另一侧） $\frac\pi2 \tilde x$ .

它遵循“复杂解决方案的真实部分”是不正确的。有一个定义明确的真实解决方案，从初始条件开始 $(\tilde x, \tilde y)$ ，并上升（如 $\arcsin$ 上）当 $\tilde y<\frac\pi2 \tilde x$ ，并且下降（如 $\pi-\arcsin$ 上）当 $\tilde y>\frac\pi2\tilde x$ . 这就是为什么情节一次又一次地越过奇异线的原因。

情节跟踪线的方式 $y=\frac\pi2 x$ 由单独的弧组成，这些弧本身就是 ODE 解。这些弧的位置是随机的，因为它们取决于 ODE 求解器中的数值误差。

它的绘制方式可能还有一个单独的问题，因为绘图有时不会像预期的那样越过红线。可能是绘图功能没有足够频繁地对解决方案进行采样，但我无法仅从绘图中分辨出来。另一方面，解决方案可能只是在一些中间求解器步骤中越界。

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