QR/Francis 算法是密集特征问题的首选，但也有一些竞争对手：

1. Jacobi 算法（如QR，另一种算法，名字很不幸，可能与求解线性系统的方法相混淆......）。主要思想：选择的非对角元素；应用合适的 2x2 Givens 旋转将其归零；然后重复。在每次新的迭代中，您在前面的步骤中清零的条目再次变为非零，因此矩阵始终是满的；尽管如此，人们可以证明在不同步骤中如何选择它们的一些假设下，非对角线条目收敛到零。研究稳定性的文献指针：Demmel，Veselic 1992，Jacobi 的方法比 QR 更准确$A_k$$A_{k+1}=Q_kA_kQ_k^*$. 从本质上讲，他们表明，当特征值跨越几个数量级时，这种方法对于较小的特征值具有更好的准确性。请注意，从 1992 年到现在，QR 算法有了另一项重大改进（Parlett 和 Dhillon 的 MRRR 方法）；我在该领域不够专业，无法判断这是否弥合了差距。

2. 基于加倍迭代的光谱分治算法（不是评论中提到的经典分治算法）。这些算法仅依赖于 BLAS 3 级操作，因此（考虑到产品、反演、投影等的实现，它对通信和缓存问题给予了适当的关注）它们应该更好地扩展到大于几千维的矩阵。 主要思想：对矩阵符号 ,应用牛顿等迭代，在该迭代下，特征向量被保留并且每个特征值收敛到或 ; 然后计算内核$M_0=A$$M_{k+1}=\frac12 (M_k + M_k^{-1})$$-1$$1$$(\lim M_k)\pm I$确定两个互补不变子空间；将投影到这两个子空间上，然后重复两个较小的问题。研究稳定性的文献指针：Nakatsukasa 和 Higham，2012，Stable and Efficient Spectral Divide and Conquer Algorithms for the Symmetric Eigenvalue Decomposition and the SVD。他们构造了一种不需要矩阵求逆且收敛速度极快的迭代变体，并证明了所得方法的稳定性。$A$$A$

在某些条件下，这两种方法都可以比 QR 更快/更准确；对数值线性代数社区有研究兴趣，但它们不如 QR 成熟，QR 几十年来一直是竞赛的主力，几乎每个人都在数值计算中使用。我不会向只想完成工作的不同领域的从业者推荐使用它们而不是 QR；但是，如果您正在研究特征值方法，或者您遇到 QR 遇到问题的问题，您可能需要尝试它们。

至于实现，LAPACK 包括一个 Jacobi 例程来计算 SVD，*GESVJ并且 QDWH 的 Matlab 实现（Nakatsukasa 和 Higham 的论文中描述的算法）在Matlab 文件交换上。