计算科学 - 大号∞L∞ODE 的稳定性性质 - 吾爱随笔录

计算科学颂不连续-galerkin

2021-12-05 16:34:57

假设我们在上有初始值问题： $(0,L)$

\frac{d u (x)}{d x} = f (x) u (x), x \in Ω, u (0) = u_{0},

$\frac{d u(x)}{d x} = f(x) u(x),\, \qquad x\in\Omega,\,~~ u(0) = u_0,$

我正在阅读一个声明，如果我们将 ODE 乘以并在上积分，我们有 $u$ $(0,L)$

\frac{1}{2} u^{2} (L) - \frac{1}{2} u_{0}^{2} = \int_{0}^{L} f (x) u^{2} (x) d x

$\frac{1}{2}u^2(L) - \frac{1}{2} u^2_0 = \int_{0}^{L} f(x)u^2(x) \,dx$

“由此得出解的稳定性。” 我同意等式是正确的，但是： $L^\infty$

这个讨论是在不连续 Galerkin 方法的背景下给出的。

1个回答

-stabilité 将是系统状态数小于初始数据的 L^\infty 范数的稳定性：与. 为了获得这个属性，我们需要对所有的假设。事实上，如果 , 这可以解释为系统的能量随时间减少的事实。然后我们推断 $L^\infty$ $L^\infty$ $u$ $L^\infty$ $u_0$

‖ u ‖_{\infty} < ‖ u_{0} ‖_{\infty} .

$\lVert u \rVert_{\infty} < \lVert u_0 \rVert_{\infty}.$

‖ u ‖_{\infty} = sup_{t > 0} | u (t) |

$\lVert u \rVert_{\infty} = \sup_{t>0}|u(t)|$

f (T) < 0

$f(T)<0$

T > 0

$T>0$

f < 0

$f<0$

\frac{1}{2} u^{2} (T) - \frac{1}{2} u_{0}^{2} \leq 0 \forall T > 0

$\frac{1}{2}u^2(T)-\frac{1}{2}u^2_0 \leq 0 \quad \forall T>0$

| u (T) | \leq | u_{0} |, \forall T > 0

$|u(T)|\leq|u_0|, \, \forall T>0$ ，这让我们可以得出结论。

此外，作者在这里定义了1997 CIME Lecture Notes Proposition 3.1，即（离散）稳定性，这似乎证实了这就是它的全部意义所在。 $L^2$

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