功能在 0 处有一个可移动的奇点。它的泰勒级数是：
我想评估泰勒级数的前 3 项, 直接计算和为了.
什么是数字正确的选择方法，所以在某个固定的有限区间（比如 [-10,10]）上的误差被最小化了？
认为是 64 位 IEEE 浮点数，并且取自高质量的 64 位精度库。
如果太小，则有取消错误比. 而如果太大，则存在近似误差 略低于.
当然，有一种聪明的方法可以在不使用反复试验的情况下进行分析。
稍后添加：感谢@njuffa，我了解到这是朗之万函数，并且在 0 附近使用不同的多项式，或者可能是连分数展开式可能更准确。所以一个更普遍的问题是：在选择了一个接近 0 的近似公式之后，找到最佳切换点的好程序是什么？?
在@njuffa 之后，我使用任意精度的R包Rmpfr来计算黄金测试参考，精度为 1024 位。这是一个相对误差图，用于直接定义和泰勒级数（五次多项式）近似（均使用双精度）：
最优的是两条曲线相交的地方，大约是. 相对误差是关于，这大约是机器 epsilon = 2.220446e-16 的 3000 倍。机器 epsilon 在图中显示为水平虚线。该图显示，减法抵消发生在所有少于，这证实了@njuffa 在他之前的问题中所写的内容。团结太小了。
这两条“曲线”比我预期的要简单，因此可以从第一原理为它们推导出简单的上限函数。如果是这样，那么一个人可以解决从第一原理出发，没有实验。这就是我问这个问题时的想法。但是，使用任意精度库要容易得多，而且实际上很有趣。
我还在此处给出的 Wikipedia 上尝试了 Langevin 函数的连分数展开。分母是从 3 开始的连续奇数。对于与 @njuffa 的示例性 C 函数相当的结果，必须在连分数中一直到分母 21（不是25我犯了编程错误），并使用开关过点.