Frobenius 范数答案的快速草图：

1. 将替换为最接近的对称矩阵。$X$$Y=\frac12 (X+X^\top)$
2. 进行特征分解$Y=QDQ^\top$，并形成对角矩阵$D_+=\max(D,0)$（元素最大值）。
3. 最接近的对称半正定矩阵是。$X$$Z=QD_+Q^\top$
4. 不存在的正定矩阵；形式的矩阵都是正定的。没有最小值，只有一个下确界。正定矩阵不是闭集。$X$$Z+\varepsilon I$$\varepsilon>0$

为了证明 (1) 和 (3)，您可以使用矩阵分解为对称和反对称部分是正交的这一事实。特别是，这意味着我们可以像我们所做的那样在两个连续的步骤中最小化。

为了证明 (2)，使用 Wielandt-Hoffmann 定理。

如果你对半正定矩阵没问题，那么你可以参考这篇论文，我认为这是Frederico 的回答也解释了：

新泽西州海厄姆。计算最近的对称半正定矩阵。线性代数及其应用。1988 年 5 月；103(C):103-118。

在这个答案中可以找到一个 python 实现，它还提供了一个指向maltab 实现的链接。