计算科学中矩阵的指数有多重要?

计算科学 线性代数 矩阵
2021-12-03 17:34:45

CS人员:

正如我将解释的那样,标题就是问题。阅读本文的每个人都可能知道,如果A是实数或复数的方阵,则eA, 或者exp(A), 是相同维度的矩阵A由明显的幂级数定义(唯一可能不明显的是A0=I,但如果不接受这个定义,就必须非常相反)。可以使用场、环或其他代数结构(例如四元数)而不是R或者C,但我猜绝大多数使用矩阵的人使用实数或复数矩阵。

今年春天,我用一本没有定义矩阵的指数或根本没有提到它的教科书教授线性代数课。无论如何,我用另一个文本作为资源来教授这个主题。缺少矩阵指数的教科书似乎是一本流行的主流教科书,它包含的材料很多,至少与矩阵指数一样难,而且作者对线性代数的了解可能比我多得​​多。

在我看来,完全没有矩阵的指数是这本书的一个主要缺陷。在纯数学中,任何重要且不会导致矛盾的定义对某人都很重要。我知道一些矩阵李群在量子力学中很重要。所以我的问题是,矩阵指数在计算科学中有多重要?

2个回答

在为常微分方程开发数值方法时,这是一个重要的概念,至少只要它们是线性的。为简单起见,考虑以下形式的同质系统x˙(t)=Ax(t),x(0)=x0,那么解决方案是x(t)=eAtx0. 这很容易扩展到案例x˙(t)=Ax(t)+f(t).

现在的重点不是人们可能真的想要计算,比如说x(2)=e2Ax0. 原因是计算e2A通常是相当困难的。但是,在时间步进方案的典型形式中,我们可能想要计算x(t+Δt)=eAΔtx(t)对于一些小Δt,这当然是一个更易于管理的任务,因为esomething small可以很容易地近似。不难证明,许多通常的时间步进方案实际上可以通过这种方式推导出来。

矩阵指数在线性常微分方程系统的理论和控制理论中的各种应用中都有使用,但这些都超出了线性代数入门课程中的讨论范围,并且不需要该主题来开发其余部分介绍线性代数,所以在这样的课程中介绍这个主题真的没有任何意义。