答案很简单。您已经在第一个等式中比较了苹果和橙子。垃圾进垃圾出。方程$y'=y$如果写得好是

$$dy/dx=y.$$ 你现在看到了吗？要更正它，只需编写：$dy/dx=ay,$在哪里$a$是一个常数，在我们的例子中，$a=1$以单位为单位$1/x$.

你必须记住，你正在整合一些东西。积分通常看起来像这样

$$F(x) = \int f(x) \mathop{}\!dx$$

这里$dx$也不是无单位的，所以原则上你是在乘以一个苹果（$f$) 通过某事 ($dx$) 得到一个橙色 ($F$）。

那个问题$y'$不显示不清楚。当我在这里重述龙格-库塔方案时，也许会变得很清楚

给定$y' = f(t,y)$有初始值$y(t_0) = y_0$您可以计算离散时间序列$y_n = y(t_n)$ 和

$$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} (k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k4) \;,\quad t_{n+1} = t_n + h$$ 在哪里 $$\begin{aligned} k_1 &= f(t,y_n) \\ k_2 &= f(t+h/2 ,y_n + h k_1/2) \\ k_3 &= f(t+h/2 ,y_n + h k_2/2) \\ k_4 &= f(t+h ,y_n + h k_3) \\ \end{aligned}$$

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这是 Julia 中的快速 RK4 实现，以表明没有任何问题。

using Plots

# Function definition y' = y
f(t,y) = y

# Boundary condition y(0) = 1
y = 1

# Time step
dt = 0.01

# Arrays for time an solution
time = collect(0:dt:1)
sol = similar(time)

# integration loop
for (n,t) in enumerate(time)
    sol[n] = y
    k1 = f(t     ,y        )
    k2 = f(t+dt/2,y+dt/2*k1)
    k3 = f(t+dt/2,y+dt/2*k2)
    k4 = f(t+dt  ,y+dt  *k3)
    y  = y + dt/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
end

plot(time,sol)
plot!(time,exp(time))

这是一个棘手的问题，因为数学家通常会忽略单位。在使DifferentialEquations.jl 与单位兼容时，我自己实际上遇到了这个问题。在这个 notebook中，我使用了 Unitful.jl 的 unitful-arithmetic。本质上，您只需使用 Julia 的字符串宏以u"s"秒为单位进行放置单位，并使用隐式乘法来2u"s"表示“两秒”。知道这一点，请注意

using DifferentialEquations
f = (t,y) -> 0.5*y
u0 = 1.5u"N"
prob = ODEProblem(f,u0,(0.0u"s",1.0u"s"))
sol = solve(prob,Tsit5())

这会引发错误，并且非常接近您的方程式。为什么？错误很明显：

DimensionError: 1.5 N and 0.015 N s are not dimensionally compatible.

这正是您所看到的。它计算$hk_1$具有单位$Ns$生成中间估计值，但这个值需要有单位$N$. 这是错的吗？不，我错了！请记住$f(t,u) = y\prime = \frac{dy}{dt}$. 它应该是一个速率，所以它需要是$y$每秒。当你这样做时：

f = (t,y) -> 0.5*y/3.0u"s"
prob = ODEProblem(f,u0,(0.0u"s",1.0u"s"))
sol = solve(prob,Tsit5()) 

# the printout

retcode: Success
Interpolation: specialized 4th order "free" interpolation
t: 3-element Array{Quantity{Float64, Dimensions:{𝐓}, Units:{s}},1}:
      0.0 s
 0.143116 s
      1.0 s
u: 3-element Array{Quantity{Float64, Dimensions:{𝐋 𝐌 𝐓^-2}, Units:{N}},1}:
     1.5 N
 1.53621 N
 1.77204 N

你看到它有效。所以是的，$k$是一个速率，所以它需要以单位为单位，然后当你乘以$h$，您现在再次获得以单位为单位的值。

究竟发生了什么？$hk_1$只是一个估计$y(t+h)$（注意单位排列）。那一步就是欧拉。然后你使用$y(t)$和估计$y(t+h)$估计$y(t+h/2)$（某种中点）。然后你使用当前$y(t+h/2)$修正估计值$y(t+h/2)$（一种 Picard 迭代）。然后你使用更正的$y(t+h/2)$估计走半步，得到一个$y(t+h)$估计。然后你平均这个$y(t+h)$用第一个估计（记住$hk_1$?)，然后将中点的变化加倍以获得最后一步的另外两个估计值，并对所有这些值进行加权平均。那就是RK4。如果你检查这上面的单位，它们都会排成一行。

所以$y\prime = y$如果你关心单位，这是不好的速记。