计算科学 - 的正根Xq+ b x - bxq+bx−b - 吾爱随笔录

计算科学牛顿法多项式寻根

2021-11-27 18:02:22

是否有用于计算多项式正根的封闭式表达式或快速/优雅算法

f (x) = x^{q} + β x - β,

$f(x)=x^q + \beta x - \beta,$ 在哪里

β > 0

$\beta>0$ 和

q \geq 2

$q\geq2$ ? 怎么样

q \in R

$q\in\mathbb R$ 案例与

q \geq 1

$q\geq1$ ?

注意函数只有一个正根 $f(x)$ ，自从 $f(0)=-\beta<0$ , $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$ ，并且 $f(x)$ $\mathbb R_+$ 上的凸函数，给定我们对 $q$ 的界限。

括号/二等分将给出线性时间的估计，并且通过此响应中的参数，我猜牛顿方法将具有专门针对此函数的全局二次收敛，只要 $q\geq2$ 。只是想确保我不会错过更巧妙的方法！

如果我错过了一个明显的封闭式表达式，我会很尴尬:-)

2个回答

根据 Wolfram Alpha， $x^5+3(x-1)=0$ 没有封闭形式的解决方案，因此您可以忘记一个很好的封闭形式表达式。:)

我看不出牛顿的方法有什么问题。它应该是快速和准确的，并且通过一些像你正在绘制的分析，我认为你可以确定一个安全的起点并证明全球收敛。它甚至可能比的复杂封闭式解决方案更快。 $q=4$

您已经证明多项式只有一个正根（我在这里假设您只对正实根感兴趣）。使用 Cauchy 的多项式根上界您可以获得多项式根的上限等于。因此，您将根括号括起来。

1 + max {| \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} |, | \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} |, \dots, | \frac{a_{0}}{a_{n}} |}

$1+ \max\left\{\left|\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|, \left|\frac{a_{n-2}}{a_{n}}\right|, \ldots, \left|\frac{a_{0}}{a_{n}}\right|\right\}$

U = 1 + β

$U = 1+\beta$

x_{0} \in [0, 1 + β]

$x_0 \in [0, 1+\beta]$

接下来，我将使用像Dekker-Brent 方法这样的有保证的求解器。这种方法将二分法（缓慢但肯定）与反二次插值（快速但可以在括号内预测之外）相结合。它具有超线性收敛性（如果我没记错的话，牛顿的方法可能会“跳转”到另一个根。 $p\approx 1.6$

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