我认为“最佳”是指“最快的解决方案”。

我认为 PDE 求解器人员在针对某些离散化和问题（例如 Helmholtz 问题（例如，参见这个问题）和其他可以利用问题结构的情况）的最合适算法的建议方面有最好的建议。

从基本数值线性代数的角度来看，这里有一些通用的指导方针：

• 如果您的问题是密集的，不是低秩的，并且足够小以适合内存，那么直接求解器是一个不错的选择。

• 如果你的问题是病态的，预处理或正则化是个好主意。

• 如果您可以利用结构（带状、对称性、对角优势），那么这样做将节省您的操作。

• 如果您的问题稀疏且足够小，则稀疏直接求解器可以很好地工作。

• 如果您的问题稀疏且大，请使用迭代求解器，因为填充会使稀疏的直接求解器无用。迭代求解器的功效取决于问题（请参阅此问题）并且取决于频谱。您可能想尝试所有这些，除非您的问题具有特定的结构，或者您从经验中知道某个算法对您的问题很有效。

• 如果您的问题是密集且低秩的，您可以通过使用迭代求解器或专门的算法（需要特殊的问题结构，正如上面提到的偏微分方程）来利用该低秩结构。

在并行性方面，最好的算法最大限度地减少通信，这是通过相应地构建算法和数据来实现的。我不是这些问题的专家。我知道块循环矩阵分解在密集数值线性代数中很流行，而且……就是这样。我几乎完全在串行算法上工作，所以我将并行性的讨论留给其他人。

它可能甚至没有接近最佳值，但这是我使用的基本启发式方法：

1. 不要使用直接求解器，除非所涉及的矩阵是对角矩阵、三对角矩阵、可以很容易地转化为三对角矩阵形式（如拆分算子方法），或者具有一些其他易于直接求解的属性。

2. 使用您最喜欢的库使用的任何迭代求解器。迭代求解器往往更易于并行化。

请注意，如this answer所示，在许多特定情况下您确实需要一些特定算法。