我想你要找的是一些$x$这样

$$\big\|Ax-b\big\|_2$$ 是最小的。如果是这种情况，那么你需要的是一个伪逆$A$或奇异值分解$A$这样$U \Sigma V^\mathsf{T} = A$. 最小二乘解由下式给出 $$x = V\Sigma^+U^\mathsf{T}b$$ 在哪里$\Sigma^+$是对角矩阵$\Sigma$其所有非零条目都被反转。

在 Matlab 或 Octave 中，您可以这样做：

[U,S,V] = svd(A);
ind = abs(S) > eps*S(1,1);
S( ind ) = 1./S( ind );
x = V*S*U'*b;

我应该提到，您可以通过使用迭代方法来解决这个问题，以最小化$\|Ax-b\|^2$例如 Landweber 方法或（更快更好的）共轭梯度方法。这可能比使用伪逆更快（取决于实现和许多其他细节）。

您需要对“尽可能接近”进行更正式的描述。例如，您可以计算“违规量”：

$\min z_1 + z_2$

$Ax \le b + z_1$

$Ax \ge b - z_2$

$z_1, z_2 \ge 0$

如果你想最小化 Pedro 和 Dirk 的解决方案$\ell_{2}$-范数$Ax - b$. 要将其作为 LP 求解，您将最小化$\ell_{1}$-范数$Ax-b$，使用标准重新制定；我认为这种方法是马丁试图表达的。

拿

$$\begin{alignat}{1} \min_{\mathbf{x}} & \quad\big\|Ax - b\big\|_{1}, \end{alignat}$$

并使用 sum 表示法表示：

$$\begin{alignat}{1} \min_{\mathbf{x}} & \quad\sum_{i}\Big|\sum_{j}a_{ij}x_{j} - b_{i}\Big|, \end{alignat}$$

然后重新制定：

$$\begin{alignat}{1} \min_{\mathbf{z}\geq\mathbf{0}, \mathbf{x}} & \quad\mathbf{1}^{T}\mathbf{z}, \\ \textrm{s.t.} & \quad z_{i} \geq \sum_{j}a_{ij}x_{j}-b_{i}, \quad \forall{i}, \\ & \quad z_{i} \geq b_{i} - \sum_{j}a_{ij}x_{j}, \quad \forall{i}. \end{alignat}$$