让一个系统多项式度数方程和变量。
我对稀疏系统感兴趣,,和整数系数。
我可以从数值分析中使用哪些技术来显示解决方案的存在？有哪些数值方法可以找到解决方案？有哪些复杂性？换句话说，如果我们在高效的计算机上实现这些方法，是否可以在合理的时间内计算出我的问题的解决方案？
有关我的系统的更多详细信息（这是一个五边形方程），请参阅这篇文章。
大型多项式系统的数值方法是什么？
计算科学
数值分析
非线性方程
复杂
多项式
2021-11-29 19:03:06
2个回答
经证明的同伦延拓方法既用于寻找根，也用于证明它们确实存在（在某个区间内）。快速的网络搜索结果是这篇论文：Joris van der Hoeven 的可靠同伦延续。
对于这种大规模的问题，使用像 Gröbner 基这样的方法，或者其他通常用于解决多项式系统的方法，需要大量的计算时间，而且很多时候你的“解决方案”太大了，你什么也做不了。同样为了解决系统问题，这些方法要求您的系统是零维的，这并不总是正确的。
可能是一种更数值化的方法，可能是将这个系统视为一个非线性方程 F(x)=0，并用高斯-牛顿法求解。由于您的系统很大，而不是经典的牛顿方法，请检查不精确的牛顿，如 Newton-Krylov。使用具有全球化的牛顿方法，您将获得超线性收敛。
例如：一些解释：https ://www10.informatik.uni-erlangen.de/de/Teaching/Courses/WS2012/SiWiR/seminar/ParPDE1.pdf 和这个： http: //www.math.uwaterloo.ca /~tfcolema/articles/K_final_draft.pdf
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