假设您的数据矩阵是$\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times m}$， 在哪里$m$是数据点的数量，并且$n$是数据的维度。让 SVD$\mathbf{X}$是

为简单起见，假设组成的数据点$\mathbf{X}$没有被翻译（例如，如果你通常减去平均值，假设它为零）。此外，假设奇异值从左到右按递减顺序排列。让$\mathbf{U}_{k}$是由最左边组成的矩阵$k$列$\mathbf{U}$（即，左奇异向量对应于$k$最大奇异值）。然后 PCA 定义了以下变换：

• 映射到低维坐标系：给定$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$， 在哪里$n$对应于原始数据的维度，映射（或转换）的数据将是$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}$， 在哪里$\mathbf{y} = \mathbf{U}_{k}^{T}\mathbf{x}$
• 将低维、转换后的数据映射回原始宿主空间和坐标系：给定转换后的数据点$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}$，该点在原始宿主空间和坐标系中的表示为$\tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{U}_{k}\mathbf{y}$.
• 投影到低维子空间：给定$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$, PCA 定义了一个正交投影$\mathbf{P}_{k} = \mathbf{U}_{k}\mathbf{U}_{k}^{T}$，使得投影数据点$\tilde{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{n}$定义为$\tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{P}_{k}\mathbf{x}$. 投影等于该列表中的第二个映射与该列表中的第一个映射组成。

如果您按一个点翻译所有数据$\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n}$, 只需替换$\mathbf{x}$在上面的列表中带有表达式$(\mathbf{x} - \mathbf{x}_{0})$, 相同的表达式将成立。

签出 gensim，潜在语义分析是迭代 SVD 的语言学代码字领域。