初始速度来自具有方差的高斯分布

$$\sigma_i^2=\frac{k_{\textrm{B}}T}{m_i},$$ 在哪里$k_{\textrm{B}}$表示玻尔兹曼常数，$T$是温度和$m_i$是质量$i^{\textrm{th}}$粒子。

因此，问题归结为使用均匀分布的随机数从高斯分布生成随机数。幸运的是，这很简单：维基百科文章 https://en.wikipedia.org/wiki/Box–Muller_transform 展示了一些非常常见的算法，如何将均匀随机数转换为高斯随机数。

让我们把所有东西放在一起：速度的每个组成部分$i^{\textrm{th}}$粒子是通过计算

$$v_{i,\alpha}=\sqrt{\frac{k_{\textrm{B}}T}{m_i}}\,\mathcal{N}(0,1)\,,\quad\alpha\in\{x,y,z\}\,,$$ 在哪里$\mathcal{N}(0,1)$是高斯随机数，方差为 1，均值为 0。

有了这个定义，每个速度分量都服从高斯分布

$$\pi(v_\alpha)\textrm{d}v_\alpha\propto\exp\left(-\frac{v_\alpha^2}{2\sigma^2}\right)\textrm{d}v_\alpha\,,$$ 但是当你在球坐标中写出速度矢量的分布并对角分量进行积分时，你会得到 $$\pi(v)\textrm{d}v \propto v^2\exp\left(-\frac{v^2}{2\sigma^2}\right)\textrm{d}v\,,$$ 这是所需的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。