如果您的梯度不精确，则不再保证它们是下降方向，因此任何同时使用函数值和梯度（通过线搜索或信任区域）并因此依赖于该属性的算法迟早会遇到问题。

另一方面，拆分方法允许不精确的评估，并且可以与外推和预处理相结合以提高收敛性。您的问题的经典 Chambolle-Pock 算法（它是 Douglas-Rachford 分裂的一种变体，可以解释为近点算法）可以写成

1. $x^k = x^{k-1} - \tau (W^T z^{k-1} + A^T y^{k-1})$
2. $\bar x^k = 2x^k - x^{k-1}$
3. $y^k = \frac{1}{1+\sigma}(y^{k-1}+\sigma (A \bar x^k-b))$
4. $w^k = z^{k-1} + \sigma W\bar x^k$
5. $z^k = \lambda \frac{w^k}{\max\{\lambda,|w^k|\}}$

其中步长应满足。第 3 步和第 5 步分别对应于范数和范数的近端映射。$\sigma\tau < \|A\|^2 +\|W\|^2$$l^2$$l^1$

Bredies 和 Sun在本预印本中讨论了预调节器，其中。在备注 2.2 之后讨论了正规方程的不精确解的情况（这不是您要问的问题，但允许错误从下面保持有界）。$K = (A,W)^T$

通常，只要近端映射的评估误差保持可求和（即，随着迭代的进行，评估必须足够快地变得准确），近端点方法就会收敛，例如参见http://arxiv.org/pdf/1109.2415v2 .pdf和其中的参考资料。