计算科学 - 极地分解的快速算法 - 吾爱随笔录

计算科学线性代数矩阵近似

2021-12-09 21:35:13

众所周知，根据极坐标分解，方阵可以表示为下式

M = Q R

$M=QR$ （

Q

$Q$ - 正交矩阵

R

$R$ - 正半正定 Hermitian 矩阵）

矩阵的情况，我需要找到这个 $Q$ 因子。为此，我使用下一个众所周知的迭代公式 $3\times 3$

Q_{i + 1} = \frac{1}{2} [Q_{i} + (Q_{i}^{- 1})^{T}]

$Q_{i+1} = \frac{1}{2}\left[ Q_i+(Q_i^{-1})^T \right]$

其中 $\det Q_0\neq0$ 但是，在实践中它的工作有点慢（它需要超过 15 次迭代才能找到正确的答案）。是否存在任何其他更快的算法来执行极地分解？矩阵的情况，我找到了找到 $Q$ 因子的精确公式。 $2\times 2$

Q = M + s i g n (det M) (\begin{matrix} d & - c \\ - b & a \end{matrix})

$Q = M + \mathrm{sign}(\det M)\begin{pmatrix} d & -c\\ -b & a\\ \end{pmatrix}$ 其中初始矩阵

矩阵

M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

$M=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$ 是否存在这样的公式？

3 \times 3

$3\times 3$

3个回答

您可以将问题简化为计算奇异值分解，为此存在许多快速方法和代码。对于快速 3x3 SVD，我找到了这篇论文。

为了将极坐标分解简化为 SVD，假设极坐标分解写成以下形式，

M = U P,

$M = U P,$

具有正交和半正定（即，，从你的符号）。的 SVD 表示为P $U$ $P$ $Q \rightarrow U$ $R \rightarrow P$ $P$

P = V Σ V^{T} .

$P = V \Sigma V^T.$

将第二个方程代入第一个方程，

M = U V Σ V^{T} .

$M = U V \Sigma V^T.$

换句话说，如果你计算 M 的 SVD ， $M$

M = W Σ V^{T},

$M = W \Sigma V^T,$

则由上式给出，且 $P$

U = W V^{T} .

$U = W V^T.$

顺便说一句，当你想证明无限维算子的类 SVD 分解的存在时，一种基本策略是从更容易证明的极分解开始，然后向后执行这些步骤。

AJM Spencer在 Continuum Mechanics 中的第 2.5 节专门讨论 3x3 极分解。

最近的一份出版物提出了一种解决 3x3 极坐标分解的新方法。

（我真的很惊讶 OP 迭代方法需要 15 次迭代！）

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