工程有限元法

当我学习工程学时，我学习了弹性有限元的传统方法。关键是解决 PDE$-div(\sigma)=f$作为：

1. 将你的 PDE 乘以一个测试函数，积分，找到弱形式：$\int \sigma(u): \epsilon(v) - \int v f = 0$
2. 插$u=\sum_i u_i N_i$， 放$v=\sum_j N_j$
3. 组装线性系统并求解它以找到$u_i$

计算机图形有限元法

然后我攻读了计算机图形学博士学位，他们为模拟进行 FEM 的方式完全不同。关键是用 Newton Raphson 最小化集成能量

1. 鉴于综合能源$\int \psi$, 计算梯度$G = \nabla_u \int \psi$和粗麻布$H = \nabla_{u} \nabla_{u} \int \psi$
2. 离散域，为每个元素计算$H_{elt}$和$G_{elt}$
3. 组装完整的线性系统，并应用 Newton Raphson 找到位移 st$\int \psi$是最小的。

计算机图形方式的优点是易于实现。无论你选择什么能量，关键是找到一个最小值。

工程方式更难实现，但具有很强的数学背景（确保收敛的 Lax 定理）。

所以这是我的问题

1. 两种方式都等效吗？
2. 计算机图形学方法是优化问题，工程方法是数值分析问题。我们如何在能量最小化的情况下应用收敛定理（稳定性、一致性等）？