经常$M^{-1}A$不是对称的，即使$M$和$A$是。有两种常见的处理方法：

1. 找到一个 Cholesky 分解$M$进入$LL^\top$, 而是求解$L^{-1}AL^{-\top}$. 如果您使用的是不完整的 Cholesky 分解预处理器，则不需要额外的工作。对于其他预处理器，这可能是不切实际的。

2. 利用以下事实$M^{-1}A$是关于内积的对称线性算子

   $\langle x, y\rangle_M = x^*My$.

   应用共轭梯度法$M^{-1}A$有了这个新的内部产品。通过一些记账，您可以保证，在每次 CG 迭代中，您只计算一个矩阵乘法$A$和一个$M^{-1}$.

从我所见，（2）是更常用的方法。此外，无论如何，它们最终都是等价的，因此除了易于实施之外，其中一个或另一个没有特别的优势。有关详细信息，请参阅Saad 的书。

可能不是一个真正的答案：通常对于正定矩阵，通过切换到两侧预处理来避免问题：寻找$M=LL^T$近似的频谱$A$然后使用迭代方法求解线性系统$L^{-1}AL^{-T}y=L^{-1}b$， 和$y=L^{T}x$. 例如，参见维基百科页面以获取预处理 CG。