正如评论中提到的，计算 $x=M^{-1}y$ 等价于求解 $Mx=y$。这是完整的解决方案：

首先，您可以将等式重新表述为：

$Bx=(2A+I)(C^{-1}+A)b$，通过定义$\tilde{b}=C^{-1}b$，方程可以改写为：

$Bx=(2A+I)(I+AC)\波浪号{b}$。

首先，通过求解计算 $\tilde{b}$（例如，使用 $C$ 的 LU 分解）：

$C\波浪号{b}=b$。现在，一旦计算出 $\tilde{b}$，您可以定义 $h=(2A+I)(I+AC)\tilde{b}$ 并使用 LU 分解求解，

$Bx=h$

$$\rm x = B^{-1} (2A + I) (C^{-1} + A) b$$

两边左乘$\rm B$，

$$\rm B x = (2A + I) (C^{-1} + A) b$$

设 $\rm y:= C^{-1} b$。因此，$\rm y:= C^{-1} b$. Hence,

$$\rm B x = (2A + I) (C^{-1} b + A b) = (2A + I) (y + A b) = (2A + I) y + (2A + I) A b$$

因此，我们获得了 $2n$ 未知数中的 $2n$ 方程的线性系统$2n$ equations in $2n$ unknowns

$$\begin{bmatrix} \mathrm B & -(2 \mathrm A + \mathrm I)\\ \mathrm O& \mathrm C\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm x\\ \mathrm y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \mathrm A + \mathrm I) \mathrm A \mathrm b\\ \mathrm b\end{bmatrix}$$

可以用高斯消元法解决。