这个问题是病态的，因为数据的非常小的变化会导致最佳拟合参数的相对变化大得多。如果您以有限的精度进行算术（甚至 IEEE 双精度在实践中也可能不足），那么您的浮点算术的精度可能不足以获得非线性最小二乘问题的合理准确的解决方案。 $(y_{i},t_{i})$

除了不适定（正如@BrianBorchers 所讨论的那样），这个问题也很难解决，因为它不是凸的。最初的最小二乘问题是凸的，因为如果的平方和。但是如果所有四个参数都是未知数，那么四维空间中换句话说，这个问题将有（至少）两个最小值，因此除非最优满足否则不能是凸的；然而，在这种情况下，很容易看出存在无限多个形式的最优解，并且该问题至少不是严格凸的。$A,B$$a,b$$A,a \leftrightarrow B,b$$A=B,a=b$$A'+B'=A+B$

所以，这个问题不是（严格）凸的，当你试图解决你的最小二乘问题时，你会遇到各种各样的数值困难。

我可以报告尝试通过两个指数的总和来拟合荧光衰减的个人经验。我们在相同条件下和几个不同条件下进行了多次重复测量。解决方案的非凸性和非唯一性已经处理过了，这个问题是不适定的，所以我将重点关注实际的“数据”方面。

尽我最大的努力（早在 2010 年），在最干净的情况下，除了一开始之外，合身已经足够好了。一些警告如下。

偏移量：在测量中，您通常有一个初始死区时间（在某个时间之前），平坦信号，其幅度可能会告知您数据偏移量。这个偏移很麻烦，因为你可以用很多低衰减指数来拟合它。很多时候，可能是因为数据帧的长度有限，信号不会下降到初始偏移水平，我怀疑最终水平可能不一样。还要估计一个参数。$t_0$

初始时间：通常，模型对时移不敏感。但是测量的信号有一个开始。在这里，我们必须选择一个。不算太晚，但如果太早，尖峰可能会被仪器响应（卷积）扭曲，双指数模型不再有效。但是，这部分精力充沛，并且在优化方面投入了很多。如您所见，拟合和数据之间的差异显示了一个特殊的非指数残差。$t_0$

位置：在初始时间之后，您必须选择一个拟合窗口，其中模型最有效或最稳定。我观察到，当我滑动拟合窗口时，拟合参数往往会发生变化，然后在右端变得无效。事实上，可以在域中观察到东西并不总是固定不变的。$\log$

抽样：通常，在运行实验时，您会选择固定抽样。它影响不同的脂肪信号（低衰减）和瘦信号（急剧衰减），无论是在初始时间的选择上，还是在拟合窗口的选择上。

噪声：当然，信号会波动，很少是均匀的，有时会出现影响拟合的虚假随机尖峰。应该先过滤数据吗？不太确定，它可以提供偏见。我已经测试了一些非线性几何滤波器的组合。

最后，在信号上，我通常对本应相同的估计参数有很大的变化，例如从到倍的变化。$100$$20\%$$2$

从那时起，已经设计了新的算法，例如强加积极性，如通过多项式逼近的指数和的半无限优化，2014 年等等。然而，数据采集问题不容忽视。