卷积操作由这个翻转定义，例如对于 1D

$$(f * g )(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, g(t-\tau)\, d\tau$$

如果没有翻转，则称为互相关，在 1D 中这是

$$(f \star g)(t)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^{\infty} f^*(\tau)\ g(t+\tau)\,d\tau$$

如果生成的内核没有什么不同，您不必进行翻转，例如等距过滤器。

使用卷积而不是互相关的一个原因是卷积是傅立叶域中的简单乘法，例如来自维基百科

$$\mathcal{F}\{f * g\} = k\cdot \mathcal{F}\{f\}\cdot \mathcal{F}\{g\}$$

在哪里$k$是一个常数，取决于所使用的傅里叶变换的归一化常数。

可以在维基百科上找到证明：

http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem

互相关（无翻转）也可以在傅里叶域中完成，例如

$$\mathcal{F}\{f\star g\}=(\mathcal{F}\{f\})^* \cdot \mathcal{F}\{g\}$$

在哪里$(\mathcal{F}\{f\})^*$是的复共轭$\mathcal{F}\{f\}$

卷积的另一个很好的特性是操作是可交换的，例如

$$f(x) * g(x) = g(x) * f(x)$$

而对于互相关则不是。

更好的是信号与狄拉克增量的卷积返回原始信号，移位，而互相关则返回翻转，移位的信号。

更多关于维基百科的信息在这里：

http://en.wikipedia.org/wiki/Cross-correlation

虽然只是简单的翻转，但卷积和互相关可以给出完全不同的结果，例如：

（注意 y 轴范围的变化）。互相关结果的峰值恰好位于两个未翻转函数匹配的中心。归一化互相关通常用于模板匹配。卷积结果不同。

也可以看看：

https://dsp.stackexchange.com/questions/2654/what-is-the-difference-between-convolution-and-cross-correlation

数学家采取：https ://math.stackexchange.com/questions/353272/whats-the-difference-between-convolution-and-crosscorrelation