解决此类 BVP 的常见介绍性方法是Shooting Method。如您所知，解决问题：

$y''(t) = f(t,y,y')$与$y(x_0) = y_0$和$y'(x_0) = y'_0$

使用诸如欧拉方法或任何种类的 RK 方法之类的技术是相当直接的。您选择什么时间步长算法取决于您的问题的刚度和稳定性。

但是，您并没有这个问题。射击方法涉及用不同的y_0反复求解上述方程，$y_0$直到您的$y_\infty$接近$y_a$。这可以通过在您的时间步长算法周围包装一个寻根方法来完成。

您的问题还增加了在远场而不是某个点中定义正确 BC 的复杂性。你显然不能将你的解决方案推进到无穷大，所以你必须选择一些任意的右边界$x_{large}$并用 BC 解决它两次：

$y(x_{large}) = y_a$和$y(2 x_{large}) = y_a$

如果您的两个解决方案一致，那么您知道被选择得足够大，就像在处具有边界一样。如果没有，你必须用更高的边界来解决它。$x_{large}$$\infty$

据我所知，边界元法（BEM）可以处理渐近边界条件。由于其对渐近边界条件的简单处理，它似乎在声学和电磁学问题上很受欢迎。对于一维问题，它可能会特别好。

戈德里克的解决方案是一个很好的解决方案，但有时有一种更好的方法来做渐近边界条件的拍摄方法。

限制中捕获原始行为。例如，像这样的术语$x$

将变为和

如果得到的微分方程完全可解，则可以选择具有所需渐近行为的精确解，并且某些足够大以使渐近逼近良好，然后使用射击方法找到匹配点。$x$

这种技术也适用于振荡渐近边界条件。

如果你发现自己经常做这类问题，你可能想看看Bender 和 Orszag 的渐近学知识的 eldrich tome。