计算科学 - 使用多维函数 - 吾爱随笔录

使用多维函数

计算科学高维数据存储

2021-12-07 01:17:52

你将如何表示类型的函数 $[-1, 1]^n \to \mathbb R \;$ 对于中度 $n$ ? 你将如何整合它们？

对于小 $n$ (1-2) 此类函数可以表示为直方图、某个基数的向量等。对于非常大的 $n$ 一种采用其他技术，如神经网络或积分蒙特卡罗方法。但如果我必须处理 $n= \overline{6 \ldots 12} \;$ ? 我需要能够计算这些函数（以便以后集成到 $\mathbb R$ )，但是如何存储，如何表示它们呢？

每个维度有 100 分将导致 $100^6 = 10^{12}$ ，而 GiB 在 $10^9$ 字节。

1个回答

首先，要认识到您正在使用的功能必须有一些衰减，才能使任何“有效”方法成为可能。如果您的函数在全张量积的所有模式中都具有丰富的结构，那么您将无法做得更好。但是许多感兴趣的函数在它们的混合导数中已经衰减，在这种情况下可以使用有效的方法。术语“分离等级”有时用于指代需要多少混合导数。

稀疏张量网格是一种常见且经过严格分析的方法。对于适当的函数类，稀疏网格可以减少存储需求 $\mathcal O(n^d)$ 对于一个完整的张量积网格 $\mathcal O(C^d n \log^{d-1} n)$ 具有（通常）较小的价值 $C$ . 这是一个非常活跃的领域，尤其是与随机偏微分方程 (SPDE) 相关的领域。这些评论论文是很好的来源。

对于 6 维左右的一些问题，一些物理应用程序使用粒子、单元内粒子，甚至是空间的朴素离散化（例如，球谐函数在物理空间中的每个网格单元处离散角空间中的分布）。这些方法不具有稀疏网格技术所具有的关于维度的准最优性，但它们不需要任何特定的衰减（低分离等级）。

如果您不需要对函数执行一般操作，而是想确定一些特定属性，则可能有其他方法来制定问题以避免需要以这些方式表示它。

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