计算科学 - 预处理对称舒尔补 - 吾爱随笔录

预处理对称舒尔补

计算科学预处理块分解

2021-12-04 01:32:51

考虑一个 $2\times 2$ 块矩阵和与其相关的线性方程组：

(\begin{matrix} - A & B \\ B^{t} & C \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} ϕ \\ ψ \end{matrix})

$\begin{equation} \begin{pmatrix} - A & B \\ B^t & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phi \\ \psi \end{pmatrix} \end{equation}$

假设和是对称的，并且是对称的半正定的，并且甚至是可逆的。可以构造 Schur 补码系统其中是对称正定的，假设。 $A$ $C$ $A$ $(C + B^t A^{-1} B ) y = \psi - B^t A^{-1} \phi$ $S = C + B^t A^{-1} B$

一般来说，您如何对这样的系统进行预处理？我注意到的预条件子是从原始块矩阵的块矩阵预条件子派生的。这种块矩阵预条件器的外观是否存在普遍共识？ $S$

2个回答

您不会找到任何可扩展的黑盒解决方案，因为通常是密集的，因此无法形成。如果您的问题来自成熟的研究领域，则文献中可能有经验证明如何近似 Schur 补码。一种常见的技术是使用近似换向器参数。Elman 和其他人关于不可压缩流动的主题有很多论文。您还可以查看Benzi、Golub 和 Liesen，Numerical Solution of Saddle Point Problems (2005)以获得（略过时的）更广泛的评论。 $S$

它通常取决于问题。例如，矩阵可能实际上对应于可以单独离散化的运算符。 $S$

要查看可以做什么的示例，您可以查看 deal.II 教程的第 20 步 ( https://www.dealii.org/developer/doxygen/deal.II/step_20.html )。这不是一个旨在展示如何构建性能最佳的预处理器的示例，而是一个如何考虑预处理器并堆叠和嵌套它们的示例。

（免责声明：我写了第 20 步。我也承认这不是我最好的教程程序。）

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