计算科学 - 将非光滑（非连续可微）系统动态近似为 n 光滑的系统方法是什么？ - 吾爱随笔录

将非光滑（非连续可微）系统动态近似为 n 光滑的系统方法是什么？

计算科学颂非线性方程最优控制平滑

2021-12-14 01:59:18

我有一个不平滑的系统动态，因为它有几个符号和绝对值函数（三罐级控制）。我显然可以选择不同的 sigmoid 函数来近似动态，使它们成为 n 次连续可微分。有人可以指出我这样做的系统方法吗？或者甚至有一些集成商可以自动处理不连续性？

我可以想出许多近似函数的方法，但我很难决定“最好”的方法。现在，我将根据以下标准做出决定：

平滑度（可微分等级）
数值计算工作（尤其是关于积分）

我想要平滑的一个示例术语是：

h (x) = s i g n (x_{1} - x_{2}) \sqrt{| x_{1} - x_{2} |}

$h(x) = \mathrm{sign}(x_1 - x_2) \sqrt{|x_1 - x_2|}$

我的问题的背景是非线性模型预测控制。

假设 $x\neq0$ 我们可以说：

s i g n (x_{1} - x_{2}) = \frac{x_{1} - x_{2}}{| x_{1} - x_{2} |}

$\mathrm{sign}(x_1 - x_2) = \frac{x_1 - x_2}{|x_1 - x_2|}$

我“测试”的近似值之一（我将如何正确地做到这一点？）是：

| x_{1} - x_{2} | \approx \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + ϵ}

$|x_1 - x_2| \approx \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + \epsilon}$

和 $\epsilon \ll 1$ .

就我而言，我选择了 $\epsilon = 10^{-6}$ 通过在 0 附近的平滑和适当表示之间进行权衡。

1个回答

平滑函数的两种系统方法 $h$ 将是：

1.使用Hermite 插值加入函数的分段平滑部分，以使导数匹配到您满意的程度。

2.卷积你的函数 $h(x)$ 具有以下形式的热核 $f(x) = \frac{\exp\left\{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}\right\}}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}$ 这样，而不是与 $h(x)$ 你会处理

g (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) h (y) d y .

$g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y) h(y) \, \mathrm{d} y.$

这 $\sigma > 0$ 参数决定多近 $g$ 是 $h$ 并且通过热方程解的性质，可以保证 $g$ 是无限光滑的。

第二种方法的示例

第二种方法的示例 $h(x) = \text{sign}(x) \, \sqrt{| x |}$ ，这是不光滑的 $x=0$ ，使用 $\sigma$ 值 0.05、0.1 和 0.01 如下图所示。

用于符号积分和绘图的 MATLAB (2019a) 代码：

syms x_1 x_2 x_int x x_hk sigma
h(x_1, x_2) = sign(x_1-x_2)*sqrt(abs(x_1-x_2))
h(x_int) = subs(h(x_1, x_2), x_1-x_2, x_int)

heat_kernel(x_hk, sigma) = exp(-(x_hk)^2/(2*sigma^2))/(sqrt(2*pi*sigma^2))
assume(sigma, {'real', 'positive'})
g(x, sigma) = int(heat_kernel(x-x_int, sigma)*h(x_int), x_int, -inf, inf)

fplot(h(x_int), [-0.4, 0.4])
hold on
fplot(g(x, 0.05), [-0.4, 0.4])
fplot(g(x, 0.1), [-0.4, 0.4])
fplot(g(x, 0.01), [-0.4, 0.4])
legend(["h(x)", "g(x, 0.05)", "g(x, 0.1)", "g(x, 0.01)"], 'Location', 'NorthEastOutside')

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