这就是 Griewank 等人的观点。调用“割线模式下的分段线性化”，例如参见https://opus4.kobv.de/opus4-zib/files/6164/newton_secant_approx_paper.pdf。该研究的目的是以相同的精度捕获绝对值运算的扭结，切线或割线捕获平滑函数的局部行为，并作为自动/算法微分的前向模式的扩展（Adol- C 和自制 python 类）。但作为其中的一部分，它当然也计算平滑函数的割线。

割线斜率是使用基本操作的可用技巧计算的，例如如果，则 其中 ,是割线的斜率给定点对的uv$v(x)=\sin(u(x))$

$$S_v=\frac{v(y)-v(x)}{y-x}=2\frac{\sin\frac{u(y)-u(x)}{2}}{y-x}·\cos\frac{u(y)+u(x)}2 \\ =2\cos\frac{u(y)+u(x)}2·\frac{\sin\left(\frac{S_u}2·(y-x)\right)}{y-x}$$ $S_u$$S_v$$u$$v$

接近零的正弦的数值计算通常以正确计算商的方式实现。来近似值低于某个阈值的商。$\frac{\sin\epsilon}{\epsilon}$$1-\frac16\epsilon^2+O(\epsilon^4)$

这个基本操作的基本过程通过沿着计算图传播而扩展到完整的功能，与 AD 的前向模式相同。在那里，实现理念中存在变体，例如将函数读出到磁带中并使用“磁带机”进行割线计算，或者将计算图/AST直接转换为进行割线计算的树形数据结构在节点操作中，或者通过原始（重载）函数传播正割“数字”类型而不读取函数结构。

可能相关且有用（我在教授计算数学导论时给了我的学生这些资源，在教学上也有点用处）：

Laurent Thévenoux、Philippe Langlois 和 Matthieu Martel 撰写的“浮点程序的自动源到源错误补偿” ：https ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01158399/document

Herbie: Automatically Improvement Floating Point Accuracy ( https://herbie.uwplse.org/ )华盛顿大学编程语言和软件工程组( https://uwplse.org/ )：主要出版物是“Automatically Improvement Accuracy浮点表达式”，Pavel Panchekha、Alex Sachez-Stern、James R. Wilcox 和 Zachary Tatlock可在https://herbie.uwplse.org/pldi15-paper.pdf找到

也许@davidhigh 想到的是以下内容

$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x) \,\, \text{ as } h\rightarrow{0}\,\, \text{substituting} \,\, y-x=h$$

你可以得到$f'(x)$通过复杂的步骤微分。